3.3. МАТРИЦЫ СОВМЕСТНОЙ ВСТРЕЧАЕМОСТИ УРОВНЕЙ СЕРОГО ТОНА
Матрица совместной встречаемости уровней серого тона представляет собой оценку плотности распределения вероятностей второго порядка 
, полученную по одному изображению в предположении, что плотность вероятности 
зависит лишь от взаимного расположения Р и 
Обозначим матрицу через 
где 
— отношение, в котором находятся Р и 
Поскольку число таких матриц может быть очень большим, необходимы дальнейшие упрощения. Во-первых, можно ограничиться учетом лишь непосредственных соседей соответствующего пиксела: например, пиксела, находящегося над ним или справа от него. Во-вторых, можно полностью пренебречь ориентацией, усредняя матрицы, сформированные для различных ориентации. Алгоритм 3.3, представляющий модификацию алгоритма 3.1, обеспечивает получение таких матриц. Если требуется усреднение матриц, то установка начальных нулевых значений должна выполняться за пределами первого цикла, а окончательный результат следует делить на число использованных отношений.
Алгоритм 3.3. Построение матриц совместной встречаемости уровней серого тона
(см. скан)
(см. скан)
Может оказаться, что в случаях, когда пиксел Р находится вблизи края изображения, пиксел 
определяемый отношением 
не существует. Тогда, вместо значения 
можно подставлять ноль или некоторое другое специально оговоренное значение. В дальнейшем всегда будем считать пикселы Р и 
смежными. Кроме того, в примерах, приводимых в данном разделе, будут рассматриваться только два отношения: пиксел 
расположен справа от пиксела Р (отношение 1) и пиксел 
расположен над пикселом Р (отношение 2). Многие свойства матрицы 
явно определяются способом ее формирования. Во-первых, диагональные элементы матрицы приблизительно равны площадям соответствующих областей изображения — элемент 
равен площади областей изображения, содержащих пикселы, значения яркости которых равны к. Во-вторых, элементы матрицы, находящиеся вне диагонали, приблизительно равны длинам границ, разделяющих соответствующие области изображения, элемент 
равен длине границы, разделяющей области, которые образованы пикселами с яркостями к и 
Если изображение малоконтрастное, то элементы, удаленные от диагонали, равны нулю или имеют очень малое значение; если изображение высококонтрастное, то ситуация прямо противоположная. Основная трудность, возникающая при использовании матриц совместной встречаемости, связана с их большими размерами 
Для преодоления этой трудности можно при оценивании матрицы перейти к более грубому квантованию. Добиться этого можно с помощью описанного в предыдущем разделе метода, основанного на выравнивании гистограммы.
Пример 3.4. Пусть изображение, использованное в примере 3.2, имеет размеры 
является двухуровневым и ширина каждой его полосы составляет пять пикселов. В таком случае матрицы совместной встречаемости для двух указанных отношений имеют следующий вид (приближенно):
Отметим, что эти матрицы не меняются при изменении изображения, если число полос и их средняя ширина остаются постоянными.
На рис. 3.8 представлены матрицы совместной встречаемости, соответствующие отдельным частям изображения, приведенного на рис. 2.3. Для уменьшения размеров матрицы использовано восемь уровней квантования. Значения этих уровней были определены с помощью выравнивания гистограммы по
полному изображению и поэтому результат оказался таким же, какой получен для изображения, приведенного на рис. 3.7, б. Матрица а) соответствует квадрату 
, «вырезанному» на портьере, матрица б) — квадрату 
на волосах и матрица в) — квадрату 
на блузке. Каждая матрица представляет собой результат усреднения по четырем отношениям: выше, ниже, слева, справа.
Рис. 3.8. (см. скан) Примеры матриц совместной встречаемости уровней серого тона
Совершенно очевидно, что эти матрицы содержат информацию, характеризующую текстуру, а также среднюю яркость изображения. Несмотря на достаточную яркость того, что такое текстура, формально определить этот объект весьма непросто. Можно считать, что два изображения, порождающие один набор матриц совместной встречаемости, имеют одинаковую текстуру (см. разд. 3.6).
