10.5. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ БЕЗЬЕ
Кривая, порождаемая многочленом Безье, обладает следующим интересным свойством: любую дугу, входящую в нее, также можно породить с помощью многочлена Безье [10.1]. Это свойство оказывается полезным при определении поверхностей (см. гл. 13); мы точно сформулируем и докажем это свойство для частных
Подставив 
в уравнение (10.23а), устанавливаем, что значения 
при 
определяются правой частью этого уравнения при 
т. е. многочленом Безье, построенным по точкам-ориентирам Р 0 и 
. Аналогичным образом, подставив 
в уравнение (10.236), устанавливаем, что его правая часть представляет собой многочлены Безье, построенный по точкам-ориентирам 
этот многочлен при изменении 
от 0 до 1 определяет значения 
соответствующие изменению 
в диапазоне 
. Итак, для
случая 
теорема доказана.
При выполнении общего шага индукции допустим, что теорема справедлива для случая 
Тогда можно записать, что Второй член этого уравнения, как следует из (10.26), равен
для соответствующих точек 
Нетрудно убедиться, что
и
и его можно переписать так:
Подстановка уравнения (10.24) в уравнение (10.22а) приводит к следующему:
в результате члены уравнения (10.27) можно перегруппировать следующим образом:
Биномиальные коэффициенты в первом и третьем члене равны 1, а их сумма, входящая во второй член, равна, согласно уравнению (10. 10а), 
. Таким образом, получено выражение, идентичное уравнению (10.24а), за исключением того, что 
заменено
на т. На этом доказательство для 
заканчивается. Читателям в качестве упражнения предлагается провести доказательство теоремы для 
