13.6. ПОВЕРХНОСТИ КУНСА
Эти поверхности обеспечивают интерполирование четырех кривых. Названы они по имени Кунса 
который ввел их в обращение примерно в 1960-м году (см. разд. 13.10). Пусть 
— функция двух переменных, обладающая таким свойством, что в случае, когда и или 
— константа, эта функция сводится к параметрическому представлению пространственной кривой. Конечный участок поверхности с замкнутой границей можно построить, объединяя граничные кривые 
следующим образом:
Четыре последние члена необходимы для предотвращения того, чтобы попарные пересечения четырех кривых не учитывались дважды. Таким образом,
аналогичные выражения записываются для 
Уравнение (13.18) гарантирует непрерывность построенной поверхности, которая, однако, не обязательно будет гладкой, что объясняется возможностью разрывности градиента. Прежде чем перейти к обсуждению способов обеспечения гладкости поверхности, введем более компактную форму записи уравнения (13.18). Пусть
В результате уравнение (13.18) принимает вид
где М — матрица с элементами 
До сих пор мы пользовались линейными функциями объединения, но можно ввести обобщение, позволяющее использовать в качестве объединяющих функции произвольного вида. Зададим, в частности, функцию
при любом целом значении 
.
Пример 13.6. Рассмотрим объединяющие функции
Если границами служат прямые, пересекающиеся в точках, использовавшихся в примере 13.5, то координаты х и у определяются следующими уравне киями;
Уравнение поверхности Кунса, определяемой этими точками, имеет вид:
В частности, координаты поверхности определяются уравнениями для произвольных функций 
обладающих тем свойством, что
Для обеспечения непрерывности градиента можно осуществлять интерполирование не только по кривым 
но и по их производным. Для этого требуется в каждый вектор уравнений (13.19) ввести две дополнительные компоненты, представляющие производные и функции объединения для этих производных. Матрицу М также необходимо увеличить до размеров 
Необходимость определять эти производные является недостатком данного метода, усложняющим процесс построения поверхности. Обычный формальный прием, применяемый в этом случае, предусматривает использование верхних индексов для обозначения производных; итак, для всякой функции 
определяются
Далее задается
и аналогичное выражение для 
Кроме того, задается
с учетом того, что
для целых значений и и 
если соответствующая производная не берется, и 
если дифференцирование производится. Таким образом,
Другими словами, 
— функция объединения для кривых и 
— функция объединения для угловых коэффициентов касательных. Значение 
равно единице в двух случаях: 
что соответствует первым двум компонентам вектора объединения, и 
что соответствует производным двух последних компонент. Матрица М теперь имеет вид
Уравнение (13.20) сохраняет справедливость в этих обозначениях. Более того, можно убедиться, что справедливы не только равенства вида 
, но и вида 
и т. д.
