11.3. В-СПЛАЙНЫ

В-сплайн — это сплайн, равный нулю на всех подсегментах, за исключением На рис. 11.2 приведены примеры линейного, квадратичного и кубического В-сплайнов. Эти сплайны можно определить рекурсивно следующим образом.

Определение 11.3. Б-сплайн с постоянным значением на подсегменте задается выражением

В-сплайн степени на сегменте определяется выражением

Уравнения (11.4) и (11.5) можно использовать для задания в явном виде В-сплайнов низших степеней.

Рис. 11.2. Примеры линейного (а), квадратичного (б) и кубического (в) Б-сплайна

Линейный:

Квадратичный:

При равномерном размещении точек склеивания на сегментах с длиной приведенные выражения существенно упрощаются. В

этом случае разумным допущением является и удобно ввести нормированную переменную

В результате уравнения, описывающие -сплайны, принимают следующий вид. Равномерно линейный:

Равномерно квадратичный:

В случае равномерного распределения точек склеивания уравнение (11.5) можно использовать непосредственно, что позволяет получить выражение для кубического В-сплайна по выражению для квадратического В-сплайна. Равномерно кубический В-сплайн:

Используя В-сплайны в качестве базиса, произвольный сплайн можно представить в следующем виде:

В этом уравнении имеется ровно к параметров: Значение сплайна на каждом подсегменте определяется суммой самое большее В-сплайнов, так что сплайн действительно, обладает свойством локальности. Изменение любого из коэффициентов уравнения (11.12) приводит к изменению вида кривой только на сегментах. Следующий пример иллюстрирует некоторые характерные свойства как В-сплайнов, так и сплайнов в целом.

Пример 11.1. Требуется построить интерполяционный квадратичный сплайн по представляющим данные точкам (0,0), (1,1), (2,2), (3, Р), (4,2), (5,1), (6,0). Влияние, оказываемое значением Р на аппроксимацию, будет изучаться на примере равномерного В-сплайна при Подстановка выражений из уравнения (11.10) в уравнение (11.12) и замена нормированной переменной и ее выражением (11.8) (при

выражение для производной на этом же сегменте имеет следующий вид:

дает следующее

Оба уравнения справедливы при их использование позволяет

Для данной задачи интерполирования получаем набор уравнений

получить следующие выражения для точек склеивания:

Число неизвестных превышает число этих уравнений и для определенности можно задать касательную в одной из точек. Рассмотрим два случая.

Случай Пусть т. е. в средней из симметрично расположенных точек, представляющих данные, задается горизонтальная касательная. В результате Поскольку все коэффициенты зависят от значения Р, изменение одной экспериментальной точки отражается на всем аппроксимационном сплайне. На рис 11.3 проиллюстрированы случаи: .

Рис. 11.3. Иллюстрация к примеру 11.1. Влияние положения экспериментальной точки (значения Р) и задания касательной на форму квадратичного сплайна

Случай Пусть При этом интерполяционный сплайн является асимметричным и определяется коэффициентами

Легко убедиться в том, что значения на интервале (0,2) равны значениям , следовательно, значения сплайна на первых двух интервалах не зависят от значения Р. Это достижение, однако, приводит к утрате симметрии. Графики при четырех значениях Р приведены на рис. 11.3.

Следует подчеркнуть, что окончательные результаты, т. е. значения не зависят от выбора представления сплайна и мы получили бы то же самое, использовав, например, уравнение (11.2). Пример 11.1 и рис. 11.3 иллюстрируют несколько свойств сплайнов. Хотя сплайн-интерполяция обладает свойством локальности, построение, проводимое с учетом дополнительных степеней свободы, может оказать существенное воздействие на окончательный результат. Это обстоятельство, в сущности, не противоречит утверждению 11.1, которое сводится лишь к тому, что с помощью дополнительных точек склеивания кривую можно изменять локально. Читатель может в качестве упражнения попробовать в приведенном примере ввести на интервале вместо одной точки склеивания две (см. задачу 11.4).

Второй вывод заключается в том, что сплайны между экспериментальными точками могут претерпевать колебания столь же резкие, как и те, что свойственны интерполяционным многочленам. Причиной хороших результатов, полученных в разд. 10.2 посредством кусочной аппроксимации, является определенная свобода выбора точек склеивания, предоставившаяся в этом случае. В приведенном примере при использовании дополнительных точек склеивания результаты могли бы быть лучшими. Несложные вычисления позволяют убедиться в том, что значения сплайна 2,3 и 3,7 при соответственно и обеспечивают линейную аппроксимацию на интервалах (0,2) и (4,6). Этот же результат обеспечивается при значениях сплайна 2,5 и 3,5 и при (В данном случае правильному выбору соответствуют следующие

Закончим этот раздел рассмотрением одного интересного свойства В-сплайнов.

Теорема 11.1. При произвольных значениях

Замечание. Пределы суммирования не указаны в явном виде, поскольку сумма, соответствующая каждому значению х, содержит только членов.

Доказательство. Воспользуемся рекуррентным уравнением (11.5). Его можно переписать для вместо

Суммируя это уравнение с уравнением (11.5), получаем

Процесс получения уравнения (11.17) из уравнений (11.5) и (11.16) можно повторять для значений, скажем, от до что приведет в результате к следующему уравнению:

Выбрав значение достаточно малым, а значение к достаточно большим, можно обеспечить равенство нулю . В таком случае уравнение (11.18) можно записать в виде

Другими словами, значение суммы В-спланов в точке х не зависит от значения т. Обратившись к уравнению (11.4), легко установить, что при ее значение равно 1, на чем доказательство теоремы заканчивается.