2.3.2. ВЫБОРКА В ДВУХМЕРНОМ СЛУЧАЕ

В обработке изображений выбор типа восстановления обычно ограничен и это следует всегда иметь в виду при использовании обобщения теоремы отсчетов на двухмерный случай. Несмотря на то что теорема Шеннона допускает тривиальное обобщение на двухмерный случай, последнее не представляет особого интереса вследствие ограниченных возможностей известных алгоритмов восстановления. Таким образом, при работе с изобразительными данными частота выборки обычно должна быть существенно выше той, которая определяется результатами спектрального анализа. В частности, можно проводить выборку с частотой, соответствующей верхней границе, которая определяется соотношением вида (2.14). Полученный таким способом интервал выборки будет равен значению, определяемому теоремой отсчетов и умноженному на коэффициент Если отношение составляет 1%, то выборку следует осуществлять с частотой в 157 раз превышающей предельное значение частоты выборки, указываемое теоремой Шеннона!

Эту проблему иллюстрируют рис. 2.3-2.5. На первом из них представлено изображение, обладающее высокой четкостью элементов изображения) и воспринимаемое большинством смотрящих на него как аналоговое. Два других изображения получены из этого изображения при помощи выборки с пропусками:

Рис. 2.3. Дискретизованное изображение, содержащее выборочных элементов и 256 уровней серого тона

Рис. 2.4. Дискретизованное изображение, содержащее выборочных элементов и воспроизведенное на большом экране

Рис. 2.5. Дискретизованное изображение, содержащее выборочных элементов и воспроизведенное на большом экране

изображение на рис. 2.4 содержит 64x64 выборочных элементов, а изображение на рис. 2.5 - выборочных элементов. Эти изображения воспроизведены на большем экране, что стало возможным благодаря многократному воспроизведению значения каждого отсчета — 16 и 64 раз соответственно. Совершенно очевидно, что качество обоих изображений низкое, однако причиной этого служит не только неполнота выборки. Вы можете попробовать взглянуть на эти изображения с некоторого расстояния или прищурившись. Качество изображений повысится, поскольку в них содержится наибольшая часть информации. Явные искажения вносит именно кусочно-постоянное восстановление. Можно получить алгоритмы, осуществляющие линейную интерполяцию между значениями выборочных элементов (см. задачу 2.3), и в результате при воспроизведении изображения с низкой четкостью на экране с высокой разрешающей способностью дополнительным пикселам присваиваются промежуточные относительно элементов выборки значения. Однако процесс интерполяции может протекать крайне медленно и потому его использование при работе со стандартным дисплеем непрактично. Лишь после разработки графических дисплеев, которые будут осуществлять такую интерполяцию локально (с помощью специализированного устройства), станет возможной дискретизация изображений с частотой, более близкой к значению, определяемому теоремой Шеннона. (В терминах цифровой фильтрации эти устройства эквивалентны элементам синхронизации высшего порядка.)

Необходимость прибегать к избыточной выборке часто в определенной мере препятствует созданию чисто цифровой системы обработки изобразительной информации. Один из возможных компромиссов заключается в смешении аналогового и дискретного выходных сигналов с помощью телевизионной аппаратуры. Сигналы поступают в видеоконтрольное устройство от двух источников: контроллера растрового графического устройства и телевизионной передающей камеры или ленты для аналоговой видеозаписи. Эти сигналы можно смешать, организовав наложение, скажем, статистической информации (полученной дискретными средствами) на (аналоговую) карту города.

Назначение выборочных точек не вызывает затруднений в случае одномерных сигналов, но в случае двухмерных возникают серьезные проблемы. Теперь дадим формальное определение нескольким понятиям, которыми будем часто пользоваться.

Определение 2.1. Пусть Р — плоскость, содержащая аналоговое изображение. Элементом дискретизации называется компактное выпуклое подмножество Р, по которому вычисляется значение выборочного элемента, входящего в состав дискретизированного изображения. Объединение таких элементов называется сеткой (выборки). Отдельный отсчет — выборочный элемент — называется

элементом изображения, или пикселом. Пусть — плоскость визуального отображения; пикселы в этом случае отображаются на элементы воспроизведения изображения и в результате восстанавливается аналоговое изображение.

Следует подчеркнуть, что мы не предполагаем отсутствие пересечений элементов дискретизации. Действительно, в большинстве устройств дискретизации они частично перекрываются, хотя элементы воспроизведения изображения обычно не пересекаются.

Рис. 2 6. Выборка в двухмерном случае и соответствующее отображение. Обратите внимание на появление на отображении резких границ, они соответствуют высоким частотам, внесенным, как это видно на рис 2 1 выборкой Эта иллюстрация также хорошо объясняет причины низкого качества изображений, приведенных на рис 24 к 25

На рис. 2.6 представлены типичная сетка выборки и соответствующее отображение. Хотя использование разных сеток для выборки и отображения теоретически возможно и иногда практически неизбежно, делать этого не рекомендуется из-за возникающих при этом искажений изображения. Для характеристики большинства процедур дискретизации используется передаточная функция точки, отражающая вклад различных точек в значение выборочной точки в зависимости от их расстояния от нее. Функция является убывающей функцией расстояния равной нулю за пределами элемента дискретизации. Если функция убывает достаточно быстро, то можно допускать отсутствие перекрытия элементов Дискретизации и в качестве первого приближения обозначать термином «элемент» как элементы дискретизации, так и элементы воспроизведения изображения.

В обработке изображений чаще всего используется квадратная сетка, состоящая из элементов-квадратов, упорядоченных в виде шахматной доски. Шестиугольная сетка (рис. 2.7) часто обсуждается в литературе, но редко используется. В то время как в теореме отсчетов для одномерного случая речь идет лишь о размерах

Рис. 2 7. Шестиугольная сетка.

Ее преимущество закчючается в том что все элементы, соседние с элементом С, примыкают к нему одним и тем же способом а в случае квадратной сетки следует различать соседние элементы, примыкающие к сторонам или углам, недостатком шестиугольной сетки является различие расстояний между центрами элементов по вертикали и горизонтали

интервала выборки, при определении размеров элементов сетки всегда необходимо учитывать их форму и вид передаточной функции точки Ниже мы будем иметь дело, главным образом, с квадратными сетками, а к сеткам иной формы будем обращаться лишь эпизодически