§ 3. Квазилинейные уравнения колебаний твердого тела

Как уже упоминалось ранее, ограниченные возможности, которыми располагают известные методы анализа систем нелинейных дифференциальных уравнений, приводят к необходимости вводить ограничения в постановку задачи.

В общем случае колебания твердого тела в поле потенциальных сил описываются нелинейными дифференциальными уравнениями для обобщенных координат. Нетрудно убедиться в том, что с уменьшением отклонений координат от положения равновесия нелинейные члены в уравнениях движения уменьшаются по своей величине в сравнении с линейными членами. При очень малых отклонениях нелинейные члены становятся пренебрежимо малыми в сравнении с линейными, по этому признаку их нередко опускают (чего не следует делать, особенно в резонансных случаях). Необходимо, однако, заметить, что большинство нелинейных членов в уравнениях колебаний твердого тела имеют вид произведений двух и более координат (и их производных). Следовательно, изъятие таких членов из уравнений будет означать искусственное исключение нелинейных связей между координатами, которые имеются у реальной системы и которые могут оказаться важными для ее движения.

Если принять во внимание то обстоятельство, что существующие регулярные математические методы позволяют анализировать системы нелинейных дифференциальных уравнений квазилинейного типа, т. е. такие, у которых нелинейные члены малы в сравнении с линейными, тогда представляется естественным следующий компромисс: рассматривать исходные нелинейные дифференциальные уравнения колебаний твердого тела, ограничиваясь значениями координат, при которых уравнения движения еще можно относить к квазилинейному типу. Такой подход удовлетворяет возможностям приближенных математических методов и вместе с тем дает возможность исследовать нелинейные колебательные процессы, присущие системе.

Таким образом, предполагается рассматривать колебания как малые, так и не малые (конечные), однако такие, чтобы при их анализе уравнения движения можно было относить к квазилинейному типу. Опыт показывает, что в качестве критериев, которые позволили бы судить о том, остаются ли уравнения квазилинейными, можно использовать величины максимальных изменений координат твердого тела. Действительно, обратившись к нелинейностям тригонометрического вида, весьма характерным для колебаний твердого тела, видим, что в приближенных выражениях

вторые слагаемые очень малы в сравнении с первыми при малых 0; при значениях 0, достигающих они составляют 5% и 13% соответственно, в то же время третьи слагаемые составляют лишь 0,06% и 0,3%. Выбрав в качестве ориентировочной границы допустимых отклонений значение , мы можем ограничиться в этих выражениях учетом лишь первых двух членов, при этом можем утверждать, что в этих двучленных выражениях нелинейные слагаемые всегда будут намного меньше линейных.

Для координат , характеризующих поступательные перемещения твердого тела, аналогичные границы можно наметить, введя углы , которые удобно определить следующим образом: где - характерный (наибольший) размер твердого тела.

Приняв такие ограничения для координат системы, мы можем несколько упростить исходные дифференциальные уравнения колебаний обобщенной системы (1.10). С этой целью воспользуемся приближенными выражениями для тригонометрических

функций координатных углов

и в соответствии с этими приближениями будем в уравнениях и в кинематических соотношениях сохранять лишь члены первой, второй и третьей степени относительно координат и их производных. Что же касается третьих и последующих членов в разложениях тригонометрических функций, они будут опущены, как слагаемые, содержащие четвертую и более высокие степени координат и поэтому намного меньшие по величине, чем предыдущие.

Естественно, что исключение таких членов несколько огрубляет и обедняет исследуемую систему. Однако это не столь существенно, хотя бы по следующим соображениям. Прежде всего, как показывает опыт конкретных исследований таких систем, определяющая роль в формировании наиболее эффективных нелинейных резонансов принадлежит нелинейным слагаемым, содержащим вторые и третьи степени координат (и их производных). Слагаемые, содержащие более высокие степени координат, лишь незначительно влияют на формирование основных нелинейных резонансов; в то же время нелинейные резонансы, в которых определяющая роль принадлежит слагаемым с более высокими степенями координат, оказываются слабо выраженными и потому малоинтересными.

Наконец, если возникнет действительная надобность в анализе роли слагаемых с высокими степенями координат, это нетрудно будет сделать, следуя методике, которая будет здесь представлена для нелинейных уравнений, содержащих вторые и третьи степени координат.

Итак, займемся преобразованием уравнений обобщенной системы (1.10) к квазилинейному типу уравнений с использованием соотношений (3.1). Предварительно для проекций мгновенной угловой скорости вместо выражений (1.1.6) получим следующие:

а для направляющих косинусов вместо таблицы 1.4 получим значения (2.3.3).

Используя (3.2), (3.3), в уравнениях движения (1.10) запишем их в следующем виде:

Уместно обратить внимание на структуру полученных уравнений. В левых частях уравнений записаны члены, представляющие силы инерционного происхождения. Видна большая разница в структуре этих сил, относящихся к поступательному движению (первые три уравнения) и сил, относящихся к угловым

или вращательным перемещениям (последние три уравнения). Уже на этом начальном этапе анализа можно отметить, что разделение переменных легко осуществить, если это допускают потенциальные силы и силы сопротивления в то же время разделение угловых переменных не представляется возможным ни при каких моментах упругих сил и моментах сил сопротивления Инерционные связи между угловыми координатами оказываются более тесными и многогранными, чем связи между линейными координатами; это обстоятельство будет в дальнейшем проявляться при рассмотрении ряда конкретных задач.

Переходя к детальному описанию потенциальных сил и моментов этих сил, заметим, что от того, как приложены эти силы к твердому телу, существенно зависят связи между координатами в уравнениях движения, прежде всего связи, характеризуемые линейными членами уравнений.

Поскольку одной из главных задач нашег исследования является анализ нелинейных колебательных явлений, в которых существенная роль принадлежит нелинейным связям между координатами, представляется целесообразным (по методическим соображениям) провести такой анализ для системы, у которой в линейном приближении координаты полностью разделяются, т. е. линейная часть системы описывается шестью независимыми линейными дифференциальными уравнениями второго порядка. Такой подход позволит сосредоточить внимание на нелинейных связях между координатами и на нелинейных эффектах, которые проявляются благодаря наличию именно этих нелинейных связей.

Следуя этой концепции, примем такое распределение потенциальных сил, приложенных к твердому телу, которое обеспечивает полное разделение переменных в линейном приближении. Как показано в § 2 главы III, такое распределение упругих сил будет достигнуто, если центр тяжести упругой системы совместится с центром массы тела в положении равновесия, а главные оси инерции совпадут с главными осями жесткости системы.

Нет оснований считать, что такой подход сужает круг рассматриваемых задач. Действительно, если в любом конкретном случае линейная часть изучаемой системы окажется системой со связанными координатами, ее можно всегда преобразовать к совокупности шести несвязанных линейных вибраторов путем перехода к нормальным координатам. Далее следует с помощью тех же нормальных координат преобразовать исходную нелинейную систему, в результате чего будет получена система нелинейных уравнений, линейная часть которых имеет полностью разделяющиеся переменные.

(кликните для просмотра скана)

Примем для конкретности, что твердое тело находится под действием упругих сил, которые являются реакциями упругих элементов, прикрепленных к телу согласно схемам, представленным на рис. 9 и 10.

Рис. 11.

Нужные для уравнений (3.4) выражения упругих сил и моментов упругих сил как функций координат получим из решения статической задачи о перемещениях твердого тела под действием заданных сил и моментов сил. Как и в случае линеаризованной задачи, рассмотренной ранее в § 2, будем считать, что упругая сила каждого элемента пропорциональна его деформации и направлена вдоль оси этого элемента (никаких деформаций кроме растяжения—сжатия упругие элементы не испытывают). Однако здесь, в отличие от линеаризованной задачи, вследствие не малых перемещений, направление упругой силы нельзя считать совпадающим с осью недеформированного упругого элемента. Необходимо учитывать проекции упругой силы элемента на все оси. Необходимо также учитывать вклад всех координат системы в деформирование упругого элемента. Не малые (конечные) деформации упругих элементов будут причиной того, что упругие силы и моменты упругих сил окажутся нелинейными функциями координат. Как и в определении инерционных сил, здесь мы будем учитывать кроме линейных слагаемых нелинейные слагаемые, пропорциональные второй и третьей степени координат.

Учитывая вспомогательную роль статической задачи и ее громоздкость, решение статической задачи для типичных случаев размещения упругих элементов согласно рис. 9, 10 изложено в приложениях 1 и 2, откуда мы будем брать готовые выражения для упругих сил и моментов. Однако, чтобы проиллюстрировать происхождение нелинейных слагаемых, рассмотрим работу одного упругого элемента.

Пусть упругий элемент, имеющий длину и жесткость получил деформацию растяжения вследствие перемещения тела в направлении координат Определим реакции упругих сил и моменты реакций которые возникли вследствие деформации упругого элемента.

Используем для этой цели соотношения (1.1.1), (3.1), (3.3), причем при вычислениях опустим четвертую и более высокие степени координат. До деформации точки крепления упругого элемента имели координаты В результате перемещения тела точка Е переместилась в положение и ее координатами стали

Упругий элемент удлинился, его длина стала равной

Возникла упругая сила направленная вдоль оси деформированного элемента, величина которой равна

Проекции этой силы на оси координат равны

Проекции момента упругой силы на оси координат равны

Вычисленные аналогичным образом проекции сил и моментов сил для каждого упругого элемента суммируются, в итоге получаем выражения для всей системы упругих элементов (приложения 1,2). В приложении 2 для модели согласно рис. 10 упомянутые выражения в виду их большой громоздкости приведены лишь с учетом членов вторых пеней координат.

Проекции упругих сил и моментов упругих сил, полученные в приложениях 1, 2, представим в следующем виде:

Здесь - функции, представляющие совокупность слагаемых, пропорциональных вторым степеням координат, — функции, представляющие совокупность слагаемых, пропорциональных третьим степеням координат. Линейные

слагаемые взяты такими, чтобы линейная часть системы допускала полное разделение переменных (о мотивах такого подхода было сказано ранее).

Обращаясь к описанию сил сопротивления движению, примем рабочую гипотезу, согласно которой тело движется в сопротивляющейся среде, реакции которой пропорциональны скоростям поступательных и угловых перем щений тела, т. е.

Здесь — константы, которые должны быть заданы или определены из опытов. Силам и моментам (3.6) соответствует диссипативная функция вида

В уравнения движения необходимо включить проекции сил и моментов сил сопротивления (3 6) на оси неподвижной системы которые определим с помощью соотношений (1.15)-(1.17) и выражений (3.1) и (3.3). Эти проекции будут следующими:

Заметим, что в структуре моменто сил сопротивления наряду с основными линейными членами появились нелинейные слагаемые, отражающие связи между координатами через посредство сил и, моментов сил сопротивления. Эти связи появились как следствие рассмотрения не малых угловых перемещений. Роль таких нелинейных слагаемых обычно невелика, они сказываются на величинах амплитуд связанных колебаний, лишь в отдельных случаях внутренних резонансов приходится считаться с такими слагаемыми при рассмотрении вопросов устойчивости.

Поскольку во многих практических случаях силы сопротивления движению при колебаниях могут считаться малыми, нелинейные слагаемые в выражениях (3.8) можно считать величинами второго порядка малости. Заменяя в уравнениях (3.4) упругие силы и силы сопротивления их развернутыми представлениями

(3.5) и (3.8), запишем эти уравнения в следующем виде:

(см. скан)

Полученные уравнения, несмотря на их громоздкость, имеют то достоинство, что в них раскрыта детальная структура нелинейных членов, представляющих инерционные силы и силы сопротивления движению.

Нелинейные составляющие упругих сил также можно представить в развернутом виде:

В этой записи предполагается, что упругие элементы расположены произвольным образом, однако в каждом конкретном случае коэффициенты в этих выражениях имеют вполне

определенное значение (в том числе и значения, равные нулю). Примеры определения коэффициентов для конкретных схем расположения упругих элементов даны в приложениях 1, 2.

В заключение введем еще одну форму представления уравнений (3.9), в которой будет явно выражен их квазилинейный характер. Как уже отмечалось, нелинейные члены, описывающие в уравнениях (3.9) силы инерции и упругие силы, являются величинами малыми в сравнении с членами линейными. Малыми будем также считать линейные члены, описывающие силы сопротивления движению. Целесообразно выделить все малые члены в общую группу в каждом из уравнений (3.9), что удобно сделать путем введения малого положительного параметра следующим образом:

где обозначено:

В результате обособления всех малых членов путем введения малого параметра в явном виде нелинейные уравнения (3.9) приобретают следующий вид:

где обозначено:

Нелинейные слагаемые сил сопротивления колебательному движению в уравнениях (3.11) опущены, как величины второго порядка малости.

Форма уравнений (3.11) обнаруживает их квазилинейный характер. При значении получаем систему линейных уравнений в виде совокупности шести невзаимодействующих вибраторов, Относящихся к координатам Напомним, что такая структура линейной части уравнений выбрана сознательно, с целью сосредоточить основное внимание на изучении колебательных явлений, порождаемых нелинейными связями между координатами системы.