§ 6. Почти периодические режимы пространственных колебаний твердого тела и устойчивость движения

Рассмотрим колебания твердого тела в областях комбинационных резонансов типа

где частоты , вообще говоря, являются несоизмеримыми между собой величинами.

Пусть внешние возмущающие силы и моменты имеют значения:

Тогда, как показано в четвертой главе, при выполнении определенных условий в областях указанных резонансов возможно возбуждение почти периодических пространственных колебаний твердого тела, изучению которых посвящено дальнейшее исследование.

В рассматриваемом случае имеет место многократный резонанс, когда число резонансных соотношений меньше числа резонансных частот, в связи с чем возникает ряд трудностей при определении устойчивых стационарных режимов почти периодических колебаний [49, 51, 121].

На некоторые особенности построения приближенных решений квазилинейных систем и исследованию их устойчивости при наличии многократного резонанса, по-видимому, впервые было указано М. Я. Кушулем в работе [121]. Как показано ниже, при исследовании колебаний твердого тела можно строить приближенные решения нелинейных уравнений в обычной форме (т. е. как в случае простых резонансов), но при определении стационарных режимов после некоторых преобразований в уравнениях для огибающих нужно ввести новые переменные, которые допускают стационарные решения. В некоторых частных случаях можно обойтись и без введения новых переменных. Такой способ определения стационарных решений квазилинейных систем в первом приближении практически эквивалентен выполнению тех построений, которые предложены в работе [121].

Резонанс типа Для определенности положим, что принятое резонансное соотношение выполняется для частот т. е.

Для приведения системы (1.1) при внешних возмущениях согласно (6.1) к стандартной форме введем замену переменных следующего вида:

где

Уравнения (1.1) в новых переменных примут вид

Приближенное решение уравнений (6.4) ищем в виде

Далее, усредняя правые части уравнений (6.4) по времени и учитывая интегралы вида (1.8), получим в первом приближении следующие уравнения для огибающих, характеризующие резонансные колебания тела в направлении координат 0 и

где

Преобразуем уравнения (6.6) к более удобной форме для дальнейшего исследования. Первое уравнение системы (6.6) умножим на второе — на складывая и вычитая получившиеся соотношения, имеем

Введя в (6.8) замену переменных и выполнив аналогичные преобразования с третьим и четвертым уравнениями системы (6.6), последние окончательно представим в следующем виде:

С целью определения стационарных режимов колебаний введем замену переменных , складывая первое и третье

уравнения системы (6.9), получим

Тогда, полагая во втором и третьем уравнениях системы в (6.10), получим следующие уравнения для определения стационарных режимов колебаний:

откуда где или

Из первого и третьего уравнений системы (6.9) определим выражения для фаз колебаний , которые изменяются во времени

или

где - произвольные постоянные,

Из формулы (6.12) следует, что соотношения между амплитудами колебаний в направлении координат 0 и зависят от параметров

Изменение степени распределения трения по координатам изменяет соотношения амплитуд колебаний например, если то имеем

Таким образом, чем больше сопротивление по координате тем меньше амплитуда в направлении этой координаты, но при этом увеличивается амплитуда колебаний в направлении координаты 0, т. е. имеет место обратно пропорциональная зависимость между величинами Следовательно, происходит перераспределение энергии колебаний тела по координатам 0 и в зависимости от степени перераспределения по ним сил сопротивлений движению тела.

Выражения (6.13) позволяют определить случаи постоянства фаз колебаний Пусть тогда Полагая получим следующие равенства, определяющие условия постоянства фаз колебаний

При выполнении равенств (6.15) стационарные амплитуды и фазы колебаний могут быть определены непосредственно из уравнений (6.9) (без введения замены переменных которые имеют вид

здесь где — произвольные постоянные.

Нетрудно убедиться в том, что резонансные кривые, построенные согласно (6.12) в координатах иметь при определенных значениях параметров такой вид, как на рис. 30 при или как на рис. 31, если - Следует также отметить, что при определенных сочетаниях параметров области синхронизации и также области затягивания колебаний могут быть более широкими, чем в случае одночастотных резонансов.

Пример. Пусть Тогда формулу (6.12) можно представить в виде

где

Ширина захвата будет равна

Согласно формуле (6.17) в зависимости от соотношения параметров системы можно получить различные резонансные кривые.

Рис. 47.

Рис. 48.

а) Пусть инерционные нелинейные члены малы по сравнению с соответствующими упругими членами, т. е. Тогда резонансные кривые имеют вид, как на рис. 30, 31.

б) Пусть тогда очевидно, что с увеличением величины а тем самым и подкоренное выражение увеличивается, следовательно, область затягивания колебаний может продолжаться до бесконечности (т. е. она ограничена пределами применимости метода малого параметра) при (рис. 47), а если то резонансная кривая имеет вид, как на рис. 48.

в) При учете обоих факторов резонансные кривые могут носить более сложный характер.

В зависимости от сочетания параметров системы резонансные кривые могут иметь либо примерно прежний характер, либо могут иметь вид, как показано на рис. 49, 50.

Рис. 49.

Рис. 50.

При резонансные кривые могут иметь еще более сложный характер.

Исследуем на устойчивость стационарные решения (6.12), (6.14). Определение условий устойчивости этого решения производится на основе уравнений

Для определения условий устойчивости этого решения составим уравнения возмущенного движения для величин Полагая и составляя уравнения в вариациях, определяем условия отрицательности вещественных частей соответствующего фундаментального уравнения. Если все корни фундаментального уравнения имеют отрицательные вещественные части, то почти периодическое решение из семейства (6.12), (6.14) устойчиво в том смысле, что любое возмущенное движение асимптотически стремится при во к одному из почти периодических движений указанного семейства, которое,

однако, не совпадает с невозмущенным ввиду переменности фаз , т. е. возмущения фаз и Поступая вышеуказанным образом, получим следующее фундаментальное уравнение:

где х — корень уравнения,

- стационарные значения амплитуд и фазовых соотношений, определяемые (6.12).

Применение критериев Рауса—Гурвица к полиному (6.20) приводит к следующим неравенствам:

Последнее неравенство можно представить в следующем виде:

или (7.6.23)

Сравнивая неравенства (6.23) с формулой (6.12), нетрудно убедиться в том, что устойчивыми будут верхние ветви резонансных кривых, показанные жирными линиями (рис. 48—50).

Получение неравенств (6.22) очень громоздко, однако в одном важном частном случае условия устойчивости можно сравнительно просто получить, используя первый интеграл системы (6.19). Из первых двух уравнений (6.19) получим

Если то дифференциальное соотношение (6.24) допускает интеграл

где С — произвольная постоянная.

При что согласуется со стационарным решением (6.12), если

Если учесть интеграл (6.25), то фундаментальное уравнение, характеризующее устойчивость, будет иметь второй порядок и условия Рауса — Гурвица примут простой вид

Учитывая, что получим или

Очевидно, что неравенства (6.26) могут быть получены из условий (6.22), если положить в них

Укажем на некоторые интегралы уравнений (6.9) при позволяющие в некоторых случаях полностью проинтегрировать уравнения (6.9) или построить интегральные кривые. Из (6.22), полагая получим

где — произвольная постоянная.

Если то имеем

С целью получения других интегралов выполним следующие алгебраические преобразования. Складывая второе и четвертое

уравнения системы (6.9), получим

Складывая и вычитая первое и третье равенства системы (6.9), имеем

Пусть (это возможно при и некоторых начальных условиях, соответствующих

Умножив уравнение (6.31) на и разделив на (6.29), получим линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида

где

Интегрируя уравнение (6.32), получим

Подставив выражения для в первое и третье из уравнений (6.9), имеем

Четвертое уравнение системы (6.9) примет вид

или

Определив из (6.37) значение можно определить фазы из уравнений (6.34), (6.35).

Из уравнений (6.34), (6.35) получим соотношение

если то имеем

Если начальные условия выбраны таким образом, что то и уравнение (6.33) позволяет просто строить фазовые портреты движения твердого тела в этом частном случае. Этот случай соответствует случаю постоянства фаз колебаний (6.15). Выражение (6.33) представим в виде

(введено или

где

Соотношение (6.40) отличается от уравнения (2.3) только значениями постоянных коэффициентов. Таким образом, в исследуемом случае имеют место такие же фазовые портреты, которые были получены для резонансов рода (рис. 35—39) (при этом оси должны быть наклонены к соответствующим осям — в случае резонансов рода под углом 45°).

Резонанс типа Пусть выполняется резонансное соотношение вида Тогда, поступая так же, как и в случае резонанса типа получим следующие уравнения для огибающих, характеризующие колебания тела в направлении

(кликните для просмотра скана)

Условия устойчивости решения (6.43), полученные составлением уравнений в вариациях и применением критериев Рауса — Гурвица, определяются неравенствами (6.23), в которых значения постоянных коэффициентов выражаются соотношениями (6.42).

Таким образом, стационарные режимы колебаний для резонансов типов подчиняются одинаковым закономерностям (отличаются лишь фазовыми соотношениями ). Для резонанса также можно определить интегралы, которые найдены для резонанса Ввиду полной аналогии, как при нахождении этих интегралов, так и по результатам, на этом вопросе не будем останавливаться. Ограничимся лишь указанием на то отличительное обстоятельство, что для исследуемого резонанса в интеграле вида (6.32) имеем . Следовательно, для частного случая фазовые портреты полностью совпадают с фазовыми портретами в случае резонансов рода

Исследование других резонансов типов приводит к таким же результатам.