2. Условия пространственной устойчивости и их анализ.

Предположим, что любая собственная частота или одновременно две частоты линейных частей систем (1.12), (1.14) удовлетворяют резонансным соотношениям вида

Если сравнить уравнения (1.12), (1.14) с соответствующими уравнениями для случая неподвижного основания при действии внешних возмущающих сил в направлениях коордийат С и то можно установить, что для большинства резонансных

соотношений вида (1.18) условия пространственной устойчивости движения тела одинаковы (только с заменой величины на выражение за исключением следующих:

для системы (1.12),

для системы (1.14).

Проанализируем каждый из резонансов (1.19), (1.20). Определение условий устойчивости решений (1.16), (1.17) для исследуемых резонансов (1.19), (1.20) производится так же, как и в предыдущей главе. Поэтому ниже будут приведены лишь окончательные результаты и их обсуждение.

Пусть выполняется второе из резонансных соотношений (1.20), т. е.

Тогда условия устойчивости решения (1.17) относительно переменных определяются характером корней уравнения (4.5.5), в котором постоянные коэффициенты равны

Таким образом, условия устойчивости определяются неравенствами (4.5.6), а в различных частных случаях — неравенствами (4.5.7), (4.5.9), (4.5.11), (4.5.12), (4.5.13), в которых значения постоянных коэффициентов должны быть взяты согласно (1.21). Если условия устойчивости решения (1.17) не выполняются, тогда возбуждаются колебания в направлении координат Из названных неравенств следует, что влияние вибрирующего основания на устойчивость проявилось в основном через посредство последних слагаемых в выражениях (1.21) для

(подчеркнутые члены). Влияние вибрирующего основания на условия устойчивости только вследствие изменения величины на произведение является тривиальным и в дальнейшем не обсуждается.

Для более полного выяснения зависимости условий устойчивости от характера колебательного движения основания рассмотрим следующие частные случаи.

Пусть нелинейные члены в уравнениях движения обусловлены только инерционными членами, т. е.

Тогда согласно (4.5.14) нетрудно ановить, что области устойчивости в пространстве параметров (независимо от коэффициентов трения и расстроек определяются неравенствами:

или

Неравенства (1.22) можно представить в следующем виде:

где

Построим области устойчивости, соответствующие неравенствам (1.23) для значений Из графиков, представленных на рис. 27, видно, что область устойчивости для подвижного основания может быть шире (3), если 1, или уже (1), если чем при неподвижном основании Абсолютная величина характерного коэффициента зависит только от отношения Здесь, конечно, также имеет смысл рассматривать лишь область, где а (заштрихованная область на рис. 27).

Таким образом, область устойчивости сужается с увеличением абсолютной величины что возможно при следующих значениях отношенйя квадрата частоты колебаний вибрирующего основания к квадрату частоты собственных колебаний в направлении координаты

Чем сильнее выполняются эти неравенства, тем шире область неустойчивости, где возможно косвенное возбуждение колебаний в направлении координат 0 и

По формуле можно установить, что при величина не может быть больше двух, а при величина может возрастать неограниченно, следовательно, область устойчивости может быть сведена до минимума, в пределе она исчезает (линия А на рис. 27).

Рис. 27.

В более общем случае, т. е. если но области устойчивости в пространстве параметров определяются неравенствами

где

Для неподвижного основания имеем

Из неравенств (1.24) видно, что в зависимости от соотношения параметров системы вибрации основания могут либо усилить, либо ослабить условия устойчивости рассматриваемой системы. Пусть выполняется первое из резонансных соотношений (1.20), т. е. Тогда условия возбуждения колебаний тела в направлении координат определяются исходя из уравнения (4.5.5), но с учетом следующих значений коэффициентов:

Следовательно, вибрирующее основание на условия пространственной устойчивости оказывает такое же влияние, что и внешняя возмущающая сила, приложенная в направлении координаты последнее, как было отмечено выше, специального интереса не представляет.

Пусть выполняются первые из резонансных соотношений (1.19), т. е. Условия возбуждения колебаний тела в направлении координат и 0 определяются также исходя из уравнения (4.5.5), где коэффициентами будут

Анализируя частные случаи, можно показать, что вибрирующее основание может как стабилизировать, так и дестабилизировать пространственные колебания тела в зависимости от соотношения параметров системы.

Пример. Для схемы расположения упругих опор согласно рис. 9 имеем

Пусть удовлетворяются следующие соотношения между коэффициентами жесткостей:

тогда

Если предположить выполнение равенств то условия устойчивости состояния определяются неравенствами (4.5.9), (4.5.11). В этом случае произведение будет равно

В зависимости от того, положительно или отрицательно второе слагаемое в этом произведении, вибрирующее основание может усиливать или ослаблять условия пространственной устойчивости. Аналогичные результаты могут быть получены и для второго из резонансных соотношений (1.19).