§ 2. Периодические режимы колебаний твердого тела около центра масс в случае кратных резонансов

Принимаем, что внешний возмущающий момент приложен в направлении координаты Кроме того, будем рассматривать случаи, когда резонансным условиям одновременно удовлетворяет несколько частот

Пусть частоты удовлетворяют резонансным соотношениям вида а частота является нерезонансной. Здесь -малый параметр и по-прежнему расстройки частот между соответственно введенные для изучения областей резонансов второго рода. В этом случае частота соответствующая той координате, в направлении которой действует внешняя сила, находится в области основного резонанса, в связи с чем следует ожидать наиболее интенсивного возбуждения пространственных колебаний тела.

С учетом вышепринятого относительно частот и полагая уравнения движения (1.3) представим в виде

Будем искать периодические решения периода в виде рядов

Фундаментальное уравнение по дающей, системы

имеет чисто мнимые корни Корням соответствуют периодические решения порождающей системы вида

или в комплексной форме:

где

Далее, поступая так же, как и в § 1, получим следующие уравнения для определения амплитуд колебаний:

(см. скан)

Представим эти уравнения в тригонометрической форме, положив

(см. скан)

Введем обозначения:

Первое уравнение системы (2.2) умножим на второе на и получим

Считая можем оба уравнения разделить на Из первого уравнения системы (2.3) имеем

а из второго —

Складывая получившиеся уравнения, получим

Вычитая из равенства (2.4) равенство (2.5), имеем

Составляя произведение (2.4) на (2.5), получим

Обратимся теперь к третьему и четвертому уравнениям системы (2.2). Введем обозначения:

Перепишем третье и четвертое уравнения системы (2.2) в следующем виде:

Составляя произведение из (2.8), (2.9), после элементарных преобразований (используя соотношения (2.4), (2.5)) получим

или

Обозначив уравнения (2.7), (2.11) напишем в общем виде

Из этих уравнений в самом общем случае можно исключить неизвестные составлением результанта для вышеприведенных многочленов. Для этого перепишем уравнения (2.12) в виде

Для того чтобы оба уравнения были совместны относительно у, необходимо и достаточно равенство нулю результанта т. е.

Полученный многочлен согласно свойству результанта имеет по х степень Таким образом, в самом общем случае невозможно получить значения амплитуд в виде радикалов от параметров данной колебательной системы.

Для конкретной системы по уравнениям (2.12) и (2.13) значения амплитуд легко могут быть получены численно.

Из вышеполученного следует, что при принятых резонансных соотношениях амплитуды колебаний в направлении координат 0 и более сложным образом зависят от амплитуды внешней силы. Причем, амплитуда колебаний в направлении координаты 0 просто выражается по формуле (2.7)

через амплитуду колебаний в направлении координаты Это выражение отличается от выражения (1.15) только тем, что в (1.15) вместо стоит величина которая является постоянной.

Итак, оказалось, что в рассмотренном случае зависимость между амплитудами колебаний в направлении координат 0 и такая же, как и в случае отсутствия основного резонанса, т. е. при

Однако ввиду того, что амплитуды колебаний в направлении координаты в случае основного резонанса больше, чем при его отсутствии, то возбудившиеся колебания в направлении координаты 0 будут (согласно формуле (2.14)) также более интенсивными. Поэтому можно считать, что этот случай наиболее легко может быть осуществлен на практике.

Теперь найдем периодические решения уравнений (1.3) в предположении, что частоты удовлетворяют резонансным соотношениям вида — нерезонансная, где и - расстройки между частотами

Периодическйе решения представим в виде рядов

Повторяя вышепроделанные выкладки, легко убедиться, что фундаментальное уравнение системы (1.3) будет иметь кратные корни, равные (кратность равна двум). Решения порождающей системы представятся в виде

где

Условия периодичности уравнений первого приближения будут

(см. скан)

где

Полученные уравнения позволяют определить искомые амплитуды колебаний в направлении координат Из-за сложности уравнений вычисления целесообразно производить на математических машинах.

Мы здесь остановимся только на некоторых частных решениях изучаемой системы, которые можно получить, не прибегая к вычислительным машинам.

Уравнениям (2.15) можно удовлетворить, положив и предположив, что является решением уравнений

или, положив и предположив, что определяется из уравнений:

Уравнения (2.16) относительно совершенно точно совпадают с уравнениями (1.10), которые получены при нерезонансных, т. е. в случае, когда возбуждаются колебания в направлении одной координаты 0.

Очевидно, это может иметь место только тогда, когда условия возбуждения пространственных колебаний удовлетворены лишь в направлении одной координаты, в то время как обе частоты удовлетворяют вышепринятому резонансному соотношению. Уравнения (2.17) описывают аналогичное явление. Следовательно, резонансные кривые при колебаниях тела в направлении каждой из координат или имеют вид, как показано на рис. 30, 31. Исследование устойчивости, выполненное так же, как и в § 1, показывает, что эти решения могут быть устойчивыми, причем устойчивыми являются верхние ветви резонансных кривых и движение в направлении соответствующей координаты будет происходить так, как указано стрелками на рис. 30, 31.