§ 4. Свободные колебания квазилинейного типа

Колебания твердого тела, близкие к линейным, или, как их можно назвать кратко, колебания квазилинейные описываются системой квазилинейных уравнений (2.3.11). Ранее уже отмечалось, что эти уравнения намного сложнее линеаризованных уравнений (2.2.18) главным образом за счет многочисленных нелинейных связей между координатами. Исследования показывают, что в системах квазилинейного типа нелинейные связи между координатами системы влияют на колебательное движение в резонансных случаях существенно по-иному, чем в случаях нерезонансных. В резонансных случаях возникают специфические резонансные явления и связанная с ними неустойчивость движения — этим вопросам посвящается значительная часть книги. В нерезонансных случаях нелинейные связи между координатами в уравнениях проявляются при движении в том, что колебания, начавшиеся в направлении одной из координат, вызывают движение тела в направлениях других его координат; кроме того, в структуре колебательного движения появляются компоненты, которые имеют частоты, кратные частотам собственных колебаний. Отмеченные характерные особенности нерезонансных колебаний твердого тела дают основание считать их в большей мере близкими к линейным колебаниям, чем колебания резонансные.

Чтобы получить более конкретное представление о нерезонансных колебаниях твердого тела, рассмотрим решение

уравнений (2.3.11), полагая, что между частотами собственных колебаний нет каких-либо резонансных соотношений. Кроме того, будем считать, что внешние силы отсутствуют, т. е. будем рассматривать свободные колебания твердого тела в нерезонансном случае.

Первое уравнение системы (2.3.11) запишем с использованием развернутого выражения для нелинейных сил , которое помещено в приложении 1:

(см. скан)

последнем уравнении этой системы некоторые нелинейные члены третьего порядка относительно координат и их производных не выписаны (см. приложение 1).

Структура нелинейных уравнений движения твердого тела сохраняет свой вид (4.1) и в произвольном случае расположения упругих пружин, при этом уравнения для конкретных случаев отличаются между собой лишь значениями постоянных коэффициентов Например, такими же уравнениями описываются нелинейные колебания тела в случае расположения пружин согласно рис. 10, для которого выражения коэффициентов приведены в приложении 2 с точностью до величин второго порядка относительно координат. Как видно из уравнений (4.1), линейная часть системы относительно переменных полностью разделена, т. е. координаты являются нормальными. Последнему условию можно удовлетворить выполнением определенных соотношений между упругими и геометрическими параметрами системы (см. приложения 1,2). Тогда некоторые коэффициенты при нелинейных членах также могут оказаться равными нулю в зависимости от конкретных условий разделения колебаний в линейной постановке задачи.

Например, коэффициенты для модели, представленной на рис. 9, а для модели, показанной на рис. 10, они не являются нулями. Учитывая последнее обстоятельство, для произвольного (гипотетического) случая расположения пружин без ущерба конкретности задачи можно предположить, что коэффициенты при всех нелинейных членах, вообще говоря, не равны нулю.

Тогда уравнения (4.1) описывают достаточно общий случай колебаний тела в произвольном потенциальном поле сил, результаты анализа которого могут быть проиллюстрированы на конкретных моделях тела на пружинах (рис. 9, 10). Именно такой подход исследования нелинейных колебаний тела как резонансного, так и нерезонансного характера будет принят в дальнейшем.

Пусть колебания возбуждаются при отклонении тела на угол т. е. при следующих начальных условиях:

Решение системы уравнений (4.1) для этих начальных условий можно построить любым приближенным методом, используя известные представления теории нерезонансных случаев [120, 131, 146].

Воспользуемся методом теории возмущений [23], ограничившись построением улучшенного первого приближения, т. е. решения с точностью до членов, содержащих в первой степени.

Для пяти первых координат решение имеет одинаковую форму

Для шестой координаты решение имеет вид

Для модели, представленной на рис. 9, имеем

Как и следовало ожидать, решение отражает процессы затухающих свободных колебаний. Основным параметром затухания колебаний является коэффициент представляющий в уравнениях силу линейного сопротивления движению в направлении координаты

Основным слагаемым в решении является

Практически это же слагаемое мы получаем в качестве решения той же задачи на основе линеаризованных уравнений (2.2.18), если частоту определить без второго слагаемого, пропорционального малому параметру Отличие составляют малые слагаемые (пропорциональные малому параметру В решении (4-3) таких слагаемых пять, в решениях (4.2) их по четыре.

Здесь мы видим конкретное выражение тех особенностей нерезонансных свободных колебаний, о которых говорилось выше. Действительно, из-за нелинейных связей между координатами колебания тела, вызванные его начальным поворотом породили его крлебания в направлении пяти других координат. (Напомним, что линейные связи между координатами полностью

исключены, так как линейная часть обсуждаемых квазилинейных уравнений распадается на шесть независимых уравнений второго порядка.) В решениях появились высшие гармоники с частотами причем гармоники удвоенной частоты обусловлены нелинейными членами второго порядка, а гармоники с утроенными частотами -нелинейными членами третьего порядка относительно координат и их производных. Все слагаемые, порожденные нелинейными членами уравнений (2.3.11), малы в сравнении со слагаемым (4.4), порожденным линейной частью системы. Это последнее обстоятельство служит основанием для того, чтобы нерезонансные колебания твердого тела, описываемые системой квазилинейных уравнений, считать близкими к линейным колебаниям.