§ 2. Анализ линейных уравнений движения. Области устойчивости и неустойчивости

Прежде чем приступить к решению основной задачи, проанализируем линейные однородные части уравнений (1.7), (1.8) (пренебрегая линейными членами с периодическими коэффициентами) с учетом и также без учета сил сопротивлений движению тела.

Линейные части системы уравнений (1.3) с учетом сил внешнего и внутреннего трений имеют следующий вид:

Следуетзаметить, что к рассмотрению таких же уравнений, как и первые два уравнения системы (2.1), приводит также изучение устойчивости состояний равновесия вращающихся валов в линейной постановке с учетом сил внутреннего и внешнего сопротивлений. Последние выполнены в работах ряда авторов,

а наиболее обстоятельно изучены Ф. М. Диментбергом [87, 88, 89]; с позиции задач неконсервативной теории упругой устойчивости рассмотрены В. В. Болотиным [26, 27].

В настоящем исследовании приводится краткое обобщение некоторых известных результатов для конкретной колебательной системы с шестью степенями свободы в связи с решением основной задачи о пространственной устойчивости движения.

Остановимся на первых двух и на четвертом и пятом уравнениях системы (2.1), которые сначала рассмотрим без учета сил сопротивлений движению тела, т. е. полагая Тогда указанные уравнения имеют вид

Решение уравнений (2.2), (2.3) ищем в виде Учитывая это, получим необходимые и достаточные условия вещественности Ееличин , являющиеся условиями устойчивости нулевого решения в виде следующих неравенств:

— для системы (2.2),

— для системы (2.3).

Очевидно, что решение неустойчиво в интервале скоростей а устойчивость решения зависит от ряда параметров системы и может быть определена с учетом выражений (1.6) для любого конкретного случая. При этом определяющая роль принадлежит параметрам . Рассмотрим несколько примеров:

- если (сфера), то имеем Тогда неравенства (2.5) выполняются, т. е. система устойчива. Нетрудно также убедиться в выполнении неравенств (2.5) при , в частности, при (диск), а также в более общем случае ),

— если более общем случае или (тело, удлиненное в направлении оси например, стержень), первое из неравенств (2.5) может не выполняться, т. е. положение равновесия тела в направлении угловых координат может

быть неустойчивым. Таким образом, тела типа диска и сферы — устойчивы, а тела, удлиненные в направлении оси вращения (типа стержня), могут быть неустойчивы. Области устойчивости и возможные области неустойчивости в пространстве параметров и с можно представить графически (рис. 52).

Выясним влияние сил внутреннего и внешнего трений на устойчивость рассматриваемой системы.

С этой целью проанализируем следующие уравнения:

Рис. 52.

Полагая в уравнениях и составляя характеристическое уравнение, приходим к условию устойчивости, определяющему роль внешнего трения:

откуда следует, что внешнее трение сужает область неустойчивости.

С целью выяснения роли внутреннего трения в уравнениях (2.6) выполним замену переменных (положено или

Соотношения (2.8) выражают переход от подвижной системы к неподвижной системе координат. Уравнения (2.6), записанные в неподвижной системе координат, имеют вид

Как показано в работе [27], наличие в уравнениях типа (2.9) псевдогироскопических членов, составляющих антисимметричную матрицу может привести к неустойчивости; при этом критическая угловая скорость равна

Формула (2.10) показывает, что критическая скорость тем больше, чем больше внешнее трение преобладает над внутренним трением. Формула (2.10) допускает также обобщение на случай причем качественные результаты остаются без изменений [26, 27, 89]. Исследование устойчивости решения на основе четвертого и пятого уравнений системы (2.1) показывает, что как внешнее, так и внутреннее трение на устойчивость оказывает одинаковое влияние (имеет место известный факт разрушения гироскопической стабилизации диссипативными силами).