Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2. Постановка задачи и метод исследования пространственной неустойчивости колебаний твердого телаПостановка задачи о пространственной неустойчивости колебаний твердого тела становится более наглядной, если отправляться от качественных представлений о характере ожидаемых решений. Основой задачи является система нелинейных дифференциальных уравнений (2.3.11) квазилинейного типа, описывающая колебания твердого тела. Напомним, что эти уравнения намеренно взяты в такой форме, чтобы их линейная часть допускала полное разд ление переменных. Если из этих уравнений исключить нелинейные члены, т. е. положить твердого тела; возникновение внешней силы по одной из координат не окажет влияния на движение других координат. В таком случае координаты твердого тела становятся нормальными координатами. Те же координаты в системе нелинейных уравнений (2.3.11) можно считать квазинормальными координатами. Качественный характер колебаний проявляется более четко, если вместо шести внешних сил Пусть, например, действует сила
Это значит, что имеют место вынужденные линейные колебания твердого тела в направлении координаты
Остальные пять координат твердого тела останутся в состоянии покоя, за исключением особых случаев. Такие случаи могут иметь место, если среди нелинейных членов в первых пяти уравнениях системы (2.3.11) окажутся члены вида Обратим внимание на то, что колебания, возможные в таких особых случаях, весьма малы в сравнении с колебаниями координаты В соответствии с изложенными качественными представлениями опишем форму движения твердого тела в условиях пространственных нелинейных колебаний следующим образом: — движение в направлении координат которой
— движение в направлении координаты
где
тогда резонансные колебания представим в виде
— движение в направлении остальных четырех координат
Совокупность выражений (2.2), (2.5), (2.6) целесообразно использовать как форму частного решения системы нелинейных дифференциальных уравнений (2.3.11). Тогда величины К сожалению, мы не располагаем возможностью построить общее решение системы нелинейных уравнений (2.3.11), в котором содержались бы все возможные резонансные режимы пространственных колебаний, определяемые соотношениями вида (2.3). Вместо этого мы вынуждены ограничиться построением отдельных частных решений, каждое из которых отвечает лишь одному конкретному соотношению частот при резонансе. Поэтому метод решения задачи о пространственных нелинейных колебаниях твердого тела будет содержать следующие элементы: а) выбирается конкретное резонансное соотношение вида (2.4) или более общего вида (2.3), тем самым фиксируются конкретные координаты б) составляется форма искомого решения из выражений (2.2), (2.5), (2.6); в) вводится аналогичная форма для скоростей — производных
г) величины д) осуществляется преобразование уравнений (2.3.11) к новым переменным
е) строится приближенное решение системы уравнений (2.8) с помощью метода теории возмущений, использующего усреднения [23]. Согласно этому методу приближенное решение представляется в следующем виде:
Величины - для резонансной координаты
где
— для нерезонансных координат
где
Характер изменения функций Обратимся снова к качественным представлениям о колебаниях твердого тела. Пусть тело совершает вынужденные нерезонансные колебания с частотою
или
Будем теперь медленно изменять частоту Прежнее состояние координат Из предыдущего ясно, что речь идет об исследовании устойчивости частного решения
системы дифференциальных уравнений (4.2.8) или устойчивости частного решения
системы дифференциальных уравнений (2.3.11). Устойчивость движения твердого тела, соответствующая изложенной выше постановке задачи, будем называть пространственной устойчивостью. Этот термин вводится для краткости изложения, в то же время он отражает пространственный характер движения твердого тела при неустойчивости. Как будет видно далее при решении конкретных задач, анализ пространственной устойчивости существенно облегчается тем обстоятельством, что система двенадцати уравнений (2.10), (2.11) распадается на две группы так, что уравнения (2.10) оказываются независимыми от уравнений (2.11). Последние приобретают следующий вид:
Аналогичным образом анализируются случаи, когда на тело действует одновременно несколько внешних сил, например, две внешние силы вида
где
Резонансное соотношение частот для координаты
откуда
Уравнения (2.10), (2.11) при этом сохраняют свою форму. Более сложен анализ резонансных явлений в тех случаях, когда резонансным условиям удовлетворяют несколько частот собственных колебаний. Для простоты сначала рассмотрим случай, когда резонансными являются две частоты
откуда
где
Движение резонирующих координат представим в виде
Вместо уравнений (2.8) получим уравнения:
Для определения функций (см. скан) В этом случае при решении задачи пространственной устойчивости также могут быть отделены и рассмотрены независимо уравнения, относящиеся к резонансным координатам, однако таких уравнений будет теперь четыре вместо двух. Остановимся теперь на случае, когда резонансными могут быть все собственные частоты системы Кроме того, положим, что тело находится под воздействием почти периодических внешних сил вида
В конечных суммах (2.22)
Случаи основных (линейных) резонансов
Предполагая отсутствие основного резонанса по каждой координате
где
Поступая так же, как и в рассмотренных выше случаях, получим для определения главных значений
Все уравнения системы (2.26) в рассматриваемом случае пространственной устойчивости взаимно связаны. Выше мы рассмотрели случаи резонансов, при котором резонансные соотношения (2.4), (2.18), (2.23) выполняются точно. Однако описанным способом можно без существенных изменений построить решения квазилинейной системы (2.3.11) и при приближенном соблюдении резонансных условий, т. е. когда
Использование приближенных резонансных соотношений имеет то преимущество, что доставляет информацию о движении системы не только при резонансных соотношениях частот, но и в окрестности таких значений. Предположим, что
Зависимость между величинами
где выполнения соотношений (2.27). Соотношения для частот (2.29) целесообразно использовать во всех резонансных случаях, упоминавшихся выше. Уравнения для величин
где
Тогда уравнения (2.3.11) в новых переменных
где
Приближенное решение уравнений (2.31) ищется также в виде (2.9). Вместо уравнений (2.26) получим следующие уравнения первого приближения:
Описанные выше методы и приемы анализа пространственной устойчивости колебательного движения твердого тела будут использованы далее для решения конкретных задач. В некоторых специальных случаях, как, например, при анализе колебаний гироскопической системы, колебаний спутника Земли и др., эти приемы понадобится дополнить. Однако во всех случаях остается неизменным общий подход, который основывается на использовании качественных представлений о формах ожидаемых пространственных движений твердого тела.
|
1 |
Оглавление
|