§ 2. Постановка задачи и метод исследования пространственной неустойчивости колебаний твердого тела

Постановка задачи о пространственной неустойчивости колебаний твердого тела становится более наглядной, если отправляться от качественных представлений о характере ожидаемых решений. Основой задачи является система нелинейных дифференциальных уравнений (2.3.11) квазилинейного типа, описывающая колебания твердого тела. Напомним, что эти уравнения намеренно взяты в такой форме, чтобы их линейная часть допускала полное разд ление переменных. Если из этих уравнений исключить нелинейные члены, т. е. положить получим совокупность шести невзаимодействующих элементарных вибраторов, каждый из которых относится к одной из координат

твердого тела; возникновение внешней силы по одной из координат не окажет влияния на движение других координат. В таком случае координаты твердого тела становятся нормальными координатами. Те же координаты в системе нелинейных уравнений (2.3.11) можно считать квазинормальными координатами.

Качественный характер колебаний проявляется более четко, если вместо шести внешних сил в уравнениях (2.3.11) рассматривать только одну силу. Для сокращения записей мы будем пользоваться наряду с исходными обозначениями координат твердого тела также обозначениями

Пусть, например, действует сила с постоянными амплитудой и частотой со, остальные силы равны нулю. Если не учитывать нелинейные члены (т. е. положить в уравнениях уравнения (2.3.11) имеют следующее частное решение:

Это значит, что имеют место вынужденные линейные колебания твердого тела в направлении координаты по отношению к которой непосредственно действует внешняя сила Все остальные координаты остаются в состоянии покоя. Если учитывать нелинейные члены в уравнениях (2.3.11), но исключить возможность того, что частота внешней силы <о окажется в каком-либо резонансном отношении с частотами собственных колебаний линеаризованной системы, соответствующей (2.3.11), тогда предыдущее решение несколько изменится: в нем частота может зависеть от амплитуды, т. е. вместо будет кроме того, в решении добавятся гармонические компоненты, происходящие от нелинейных членов в шестом уравнении системы (2.3.11). Соответствующее решение было получено в предыдущей главе:

Остальные пять координат твердого тела останутся в состоянии покоя, за исключением особых случаев. Такие случаи могут иметь место, если среди нелинейных членов в первых пяти уравнениях системы (2.3.11) окажутся члены вида Такие возможности довольно редки. Если они реализуются, то кроме основного движения (2.1) появятся малые колебания с частотами в направлении тех координат в уравнениях которых оказались названные выше нелинейные члены.

Обратим внимание на то, что колебания, возможные в таких особых случаях, весьма малы в сравнении с колебаниями координаты возбуждаемыми непосредственно силой поэтому они существенного интереса не представляют. Возникают они за счет малого перехода энергии от координаты к другим координатам, однако в нерезонансных условиях, о которых идет речь, такое перераспределение энергии не является радикальным, и потому оно не существенно. В тех случаях, когда частота оказывается в каком-либо резонансном отношении с частотами характер колебаний твердого тела сильно изменяется вследствие того, что в условиях резонанса осуществляется радикальное перераспределение энергии колебаний между координатами системы. При этом колебания возбуждаемой координаты ослабевают (их амплитуда уменьшается), но за счет этого возникают интенсивные колебания тела в направлении резонирующих координат остальные координаты частоты которых не участвуют в резонансных соотношениях, могут остаться в покое или будут совершать малые колебания. Так возникает новый режим колебаний, в котором участвуют вместо одной несколько координат (не менее двух) твердого тела. По этому признаку будем называть такие колебания пространственными колебаниями твердого тела.

В соответствии с изложенными качественными представлениями опишем форму движения твердого тела в условиях пространственных нелинейных колебаний следующим образом:

— движение в направлении координат возбуждаемое непосредственно действием силы частота

которой не находится в резонансном отношении с частотой собственных колебаний

— движение в направлении координаты являющееся резонансными колебаниями и имеющее место при выполнении соотношения частот

где -целые положительные и отрицательные числа, для которых причем в каждом из соотношений (2.3) по крайней мере одно из чисел отлично от нуля; в наиболее простом случае резонансное соотношение для частоты соответствующей координате имеет вид

тогда резонансные колебания представим в виде

— движение в направлении остальных четырех координат представим в форме свободных колебаний

Совокупность выражений (2.2), (2.5), (2.6) целесообразно использовать как форму частного решения системы нелинейных дифференциальных уравнений (2.3.11). Тогда величины представляющие здесь амплитуды колебаний, следует рассматривать как неизвестные функции времени, которые надо определить из системы уравнений задачи (2.3.11).

К сожалению, мы не располагаем возможностью построить общее решение системы нелинейных уравнений (2.3.11), в котором содержались бы все возможные резонансные режимы пространственных колебаний, определяемые соотношениями вида (2.3). Вместо этого мы вынуждены ограничиться построением отдельных частных решений, каждое из которых отвечает лишь одному конкретному соотношению частот при резонансе. Поэтому метод решения задачи о пространственных нелинейных колебаниях твердого тела будет содержать следующие элементы:

а) выбирается конкретное резонансное соотношение вида (2.4) или более общего вида (2.3), тем самым фиксируются конкретные координаты

б) составляется форма искомого решения из выражений (2.2), (2.5), (2.6);

в) вводится аналогичная форма для скоростей — производных по времени:

г) величины принимаются в качестве новых переменных задачи вместо прежних переменных Выражения (2.2), (2.5), (2.6), (2.7) используются в качестве формул замены переменных;

д) осуществляется преобразование уравнений (2.3.11) к новым переменным Преобразованные уравнения записываются в следующей стандартной форме:

е) строится приближенное решение системы уравнений (2.8) с помощью метода теории возмущений, использующего усреднения [23]. Согласно этому методу приближенное решение представляется в следующем виде:

Величины как функции времени определяются из вспомогательных уравнений, которые получаются путем усреднения уравнений (2.8) по явно содержащемуся времени Эти вспомогательные уравнения в первом приближении имеют вид

- для резонансной координаты

где

— для нерезонансных координат

где

Характер изменения функций в частности будет определять поведение огибающих главных частей колебательного движения, т. е. будет характеризовать изменение амплитуд колебаний всех координат твердого тела. Последовательная реализация описанных элементов метода приводит к приближенному частному решению (2.9), получив которое можно возвратиться к исходным переменным по тем же формулам (2.2), (2.5), (2.6), (2.7). Такие решения достаточно содержательны как для первого, так и для второго этапов исследования, о которых шла речь в § 1 этой главы. Поскольку здесь нас интересуют вопросы первого этапа исследований, уделим внимание методической стороне анализа устойчивости колебаний.

Обратимся снова к качественным представлениям о колебаниях твердого тела. Пусть тело совершает вынужденные нерезонансные колебания с частотою внешней силы в направлении координаты Известно, что такие колебания устойчивы, при наличии малых сил сопротивления они устойчивы асимптотически (это показано далее в § 3). Остальные координаты тела в этом режиме колебаний находятся в состоянии покоя, т. е.

или

Будем теперь медленно изменять частоту приближаясь к одному из резонансных значений этой частоты Следует ожидать, что при некотором благоприятном соотношении параметров системы возникнут резонансные колебания в направлении одной из координат которая станет резонирующей координатой

Прежнее состояние координат окажется неустойчивым, из этого состояния будут развиваться резонансные колебания. Следовательно, условия возникновения пространственных нелинейных колебаний в условиях резонансов соответствуют условиям неустойчивости предшествующего движения твердого тела. Поэтому первый этап исследования сводится к решению следующей задачи устойчивости движения твердого тела: определить критерии устойчивости движения твердого тела в предположении, что между частотой вынужденных колебаний пр координате и частотой свободных колебаний пр координате имеет место резонансное соотношение, в то же время координата и все другие координаты, кроме находятся в состоянии покоя.

Из предыдущего ясно, что речь идет об исследовании устойчивости частного решения

системы дифференциальных уравнений (4.2.8) или устойчивости частного решения

системы дифференциальных уравнений (2.3.11).

Устойчивость движения твердого тела, соответствующая изложенной выше постановке задачи, будем называть пространственной устойчивостью. Этот термин вводится для краткости изложения, в то же время он отражает пространственный характер движения твердого тела при неустойчивости.

Как будет видно далее при решении конкретных задач, анализ пространственной устойчивости существенно облегчается тем обстоятельством, что система двенадцати уравнений (2.10), (2.11) распадается на две группы так, что уравнения (2.10) оказываются независимыми от уравнений (2.11). Последние приобретают следующий вид:

Аналогичным образом анализируются случаи, когда на тело действует одновременно несколько внешних сил, например, две

внешние силы вида с нерезонансными частотами для координат При этом разница в анализе колебаний заключается в том, что решение в форме (2.2) принимается не только для координаты но и для координаты т. е.

где

Резонансное соотношение частот для координаты в этом случае имеет вид

откуда

Уравнения (2.10), (2.11) при этом сохраняют свою форму. Более сложен анализ резонансных явлений в тех случаях, когда резонансным условиям удовлетворяют несколько частот собственных колебаний.

Для простоты сначала рассмотрим случай, когда резонансными являются две частоты т. е. имеют место следующие соотношения:

откуда

где

Движение резонирующих координат представим в виде

Вместо уравнений (2.8) получим уравнения:

Для определения функций получим следующую систему уравнений:

(см. скан)

В этом случае при решении задачи пространственной устойчивости также могут быть отделены и рассмотрены независимо уравнения, относящиеся к резонансным координатам, однако таких уравнений будет теперь четыре вместо двух.

Остановимся теперь на случае, когда резонансными могут быть все собственные частоты системы

Кроме того, положим, что тело находится под воздействием почти периодических внешних сил вида

В конечных суммах (2.22) — произвольные числа, вообще говоря, несоизмеримые между собой, — заданные константы. Резонансные соотношения для рассматриваемого случая имеют вид

Случаи основных (линейных) резонансов здесь исключаются. Здесь число резонансных условий может быть равно или меньше числа резонансных частот в зависимости от чего принимается та или другая форма решения Пусть, решая систему уравнений (2.23) относительно неизвестных получим

Предполагая отсутствие основного резонанса по каждой координате от непосредственно действующей по отношению к ней силы движение в направлении координат представим в виде

где

Поступая так же, как и в рассмотренных выше случаях, получим для определения главных значений следующие уравнения:

Все уравнения системы (2.26) в рассматриваемом случае пространственной устойчивости взаимно связаны.

Выше мы рассмотрели случаи резонансов, при котором резонансные соотношения (2.4), (2.18), (2.23) выполняются точно. Однако описанным способом можно без существенных изменений построить решения квазилинейной системы (2.3.11) и при приближенном соблюдении резонансных условий, т. е. когда

Использование приближенных резонансных соотношений имеет то преимущество, что доставляет информацию о движении системы не только при резонансных соотношениях частот, но и в окрестности таких значений.

Предположим, что независимым резонансным соотношениям (2.27) точно удовлетворяют не частоты свободных колебаний порождающей системы , а некоторые другие величины близкие к ним, т. е.

Зависимость между величинами введем равенствами

где — малый параметр, величины которые называются расстройками частот, выражают приближенность

выполнения соотношений (2.27). Соотношения для частот (2.29) целесообразно использовать во всех резонансных случаях, упоминавшихся выше. Уравнения для величин при этом изменяются незначительно. Покажем это для последнего случая. Вместо выражений (2.25) используем следующую форму движения:

где — величины, определяемые из уравнений (2.28), равные

Тогда уравнения (2.3.11) в новых переменных с учетом введенных расстроек примут вид

где

Приближенное решение уравнений (2.31) ищется также в виде (2.9). Вместо уравнений (2.26) получим следующие уравнения первого приближения:

Описанные выше методы и приемы анализа пространственной устойчивости колебательного движения твердого тела будут использованы далее для решения конкретных задач. В некоторых специальных случаях, как, например, при анализе колебаний гироскопической системы, колебаний спутника Земли и др., эти приемы понадобится дополнить. Однако во всех случаях остается неизменным общий подход, который основывается на использовании качественных представлений о формах ожидаемых пространственных движений твердого тела.