§ 2. Нелинейные пространственные колебания спутника относительно центра масс

Анализ линейных уравнений показывает (§ 1), что в областях устойчивости спутник совершает незатухающие свободные колебания относительно центра масс, причем колебания в направлении угла тангажа не связаны с колебаниями в направлениях углов крена и рыскания. В частности, при нулевых начальных условиях такому режиму колебаний спутника соответствует следующее частное решение системы (1.13):

Согласно этому решению под действием внешней возмущающей силы имеет место режим вынужденных колебаний в направлении угла тангажа а спутник относительно углов крена и рыскания находится в покое. Однако, как было показано в исследованиях предыдущих глав, такие представления, основанные на линейных уравнениях, могут оказаться несоответствующими действительным движениям изучаемой системы.

Благодаря наличию нелинейных связей между координатами в изучаемой системе наряду с колебаниями спутника по тангажу могут возбудиться интенсивные колебания в направлении других координат, по отношению к которым непосредственно не действуют внешние силы. Нашей задачей является установление возможных форм пространственных движений спутника и определение условий, при выполнении которых может иметь место возбуждение нелинейных пространственных колебаний в рассматриваемой системе [59, 60].

1. Построение приближенного решения и определение резонансных условий.

Решение поставленной задачи можно получить путем исследования устойчивости периодического решения (2. нелинейной системы (1.11), описывающего вынужденные колебания

спутника по тангажу. Структура уравнений (1.11) сходна с последними тремя уравнениями системы (8.1.7) главы VIII. Поэтому дальнейшее исследование пространственной устойчивости рассматриваемой системы выполним, пользуясь приемом, предложенным для изучения устойчивости движения систем с вращающимися частями в условиях резонансов.

Преобразуем систему (1.11) к стандартной форме при помощи замены переменных:

Здесь вещественные величины — частоты линейной части системы (1.11), определяемые формулами

Коэффициенты представляют отношения амплитуд для линейной части однородных уравнений и имеют вид

Условия вещественности величин здесь выполняются, так как движение спутника рассматривается в областях устойчивости и (4) (рис. 84).

Уравнения (1.11), преобразованные при помощи замены (2.2), принимают вид

Здесь приняты обозначения

В функциях переменные должны быть заменены соответствующими выражениями (2.2).

Анализ уравнений (1.11), выполненный так же, как в VIII главе для уравнений движения твердого тела в потенциальном поле сил, приводит к заключению о том, что возможно возникновение нелинейных резонансов при следующих соотношениях частот:

для внешних резонансов и

для внутренних резонансов.

Резонансные соотношения (2.6), (2.7) могут выполняться в областях устойчивости (1) и (4). На рис. 84 представлены линии внешнего и внутреннего резонансов в пространстве параметров

Из приведенных резонансных соотношений (2.6), (2.7) рассмотрим несколько типичных случаев, в частности, , соответствующих, вообще говоря, возбуждению периодических и почти периодических колебаний спутника. В этих случаях будут выяснены характерные особенности возбуждения нелинейных пространственных колебаний спутника.

2. Возбуждение субгармонических колебаний спутника.

Сначала рассмотрим случай, когда между частотой собственных колебаний по крену порождающей системы и частотой внешней силы, равной 1, выполняется точно или приближенно соотношение

Предполагается, что другие частоты не резонансные.

Приближенное решение системы (2.5) будем искать в форме:

Величины подлежат определению, они предполагаются близкими к соответствующим значениям

Для установления условий возбуждения колебаний достаточно определить основные части решений (2.9), т. е. величины и последние удобно определить при помощи метода, предложенного в работе [23], согласно которому находится из уравнений, получаемых из (2.5) после подстановки в них выражений (2.9) и последующего усреднения по явно содержащейся независимой переменной

Чтобы выяснить поведение системы в окрестности резонансного соотношения (2.8), полагаем

остальные где — расстройка частот. Полученные таким образом уравнения имеют вид

где

Интересующему нас частному решению (2.1) соответствует частное решение системы (2.11) вида

Неустойчивости частного решения (2.13) соответствует возбуждение колебаний изучаемой системы в направлении координат который будут накладываться на стационарные колебания Чтобы определить условия возбуждения таких колебаний, обратимся к анализу устойчивости частных решений системы (2.11). Непосредственно из уравнений (2.11) видно, что состояние будет устойчивым, поскольку Состояние также будет устойчивым при поскольку величина отрицательна (учитывая сравнительную малость слагаемого с множителем

Действительно, на основании (2.3) устанавливаем, что значения величин и расположены между значениями . Тогда следовательно, отрицательно. Если же то . В таком случае имеем известный факт о том, что силы трения разрушают гироскопическую стабилизацию. Этот вид неустойчивости нас не будет интересовать.

Чтобы выяснить устойчивость состояния преобразуем первое и второе уравнения системы (2.11) при помощи замены переменных

Преобразованные уравнения оказываются линейными и имеют вид

Для устойчивости состояний (соответствующих значению необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства (условия Гурвица)

или условия устойчивости, выраженные через параметры системы

Проанализируем условия устойчивости (2.16) или (2.17). При решении вопроса о выполнимости первого из условий (2.16) применяются те же рассуждения, которые были проведены при определении знака выражения . Второе условие из (2.16)

может и не выполняться при определенных значениях параметров системы (показано ниже).

Тогда исследуемое решение (2.13) будет неустойчивым и возникнут резонансные колебания в направлении координат и 0 с частотой 1/2.

Для выяснения вопроса о влиянии отдельных параметров системы на устойчивость условия (2.16) представим в виде

где

По неравенствам (2.18) нетрудно установить, что увеличение коэффициентов трения и расстройки способствует устойчивости, а увеличение коэффициента наоборот, может способствовать неустойчивости (при ); таким образом, установлен интересный факт, что увеличение демпфирования в направлении угла тангажа облегчает условия возникновения колебаний в направлении координат

Чтобы показать невыполнимость второго условия из неравенств (2.18), выражение представим в виде (полагая

При слагаемые в квадратной скобке будут одинакового знака. Таким образом, при определенных значениях величин второе из условий может не выполняться, т. е. возможно возбуждение нелинейных пространственных колебаний спутника. Кроме того, следует отметить, что во втором неравенстве (2.18) члены с множителем выражают возможность появления обычной параметрической

неустойчивости спутника в области резонанса второго рода (эти условия получаются из (2.18), если положить в них Однако по выражениям для (2.18), (2.19) очевидно, что слагаемые со множителями и могут иметь одинаковые или противоположные знаки; в зависимости от этого неустойчивость, обусловленная нелинейными членами в уравнениях движения, может быть ослаблена или усилена параметрической неустойчивостью.

3. Возбуждение почти периодических колебаний спутника.

Допустим, что имеет место приближенное резонансное соотношение Введем расстройки частот соотношениями где для справедливо равенство Далее, поступая так же, как в рассмотренном резонансном случае, получим следующие дифференциальные уравнения для определения условий возникновения нелинейных пространственных колебаний спутника:

Условия устойчивости частных решений соответствующих решениям будут

где

(см. скан)

Так же как в случае резонанса можно убедиться в том, что первое из условий (2.21) выполняется при Для выяснения вопросов о влиянии отдельных параметров системы на условия устойчивости (2.21) и о невыполнимости некоторых из них рассмотрим частные случаи.

Пусть (случаи точного резонанса и очень малого трения). Тогда условия устойчивости (2.21) примут вид

Так же как и во втором пункте, имеем, что увеличение коэффициентов трения способствует устойчивости, увеличение — способствует неустойчивости. Области достаточных условий устойчивости в пространстве параметров системы могут быть построены на основе неравенства

Для возможности возбуждения колебаний необходимо, чтобы Тогда при определенных соотношениях параметров системы второе из неравенств (2.22) может не выполняться.

Например, при имеем

Принимая во внимание выражения заключаем, что второе из неравенств (2.22) при некоторых значениях может быть не удовлетворено. Тогда возбуждаются почти периодические колебания в направлении координат т. е. возникают нелинейные пространственные колебания спутника относительно центра масс.

4. Случай круговой орбиты. Проведем аналогичные исследования для круговой орбиты в случае внутреннего резонанса.

Уравнения относительного движения спутника при движении его центра масс по круговой орбите получим из (1.11), полагая в них

Уравнения (2.23) допускают частное решение вида

где зависят от начальных условий,

Исследуем устойчивость полученного частного решения системы. Для этого нужно записать уравнения возмущенной системы при малых возмущениях, соответствующих соотношениям

Уравнения возмущенного движения после введения малого параметра можно представить в виде

где

Займемся исследованием случая резонансного соотношения

Исследование, аналогичное пункту 2, приводит к тому, что для устойчивости частного решения (2.24) необходимо и достаточно выполнение неравенств

или в параметрах системы

При невыполнении условий (2.29) возбуждаются колебания в направлении координат

Первое условие выполняется аналогично случаю эллиптической орбиты. Из (2.29) видно, что увеличение коэффициентов трения способствует устойчивости. Второе условие может и не выполняться, однако при достаточно малых начальных условиях и наличии системы демпфирования возбуждение исследуемых колебаний может не иметь места. Это подтверждает целесообразность установки на спутнике (систем предварительного успокоения), пассивных или даже активных, чтобы погасить начальные колебания, возникающие при отделении спутника от ракеты-носителя.

С целью выявления других дополнительных возможных резонансных ситуаций предположим, что к спутнику приложен возмущающий периодический момент с произвольно ориентированным вектором, проекции которого на оси будут

Происхождение этого момента может быть самым различным, как, например, наличие подвижных масс (вращающихся или поступательно движущихся), периодическая составляющая управляющих моментов и т. д.

Тогда исследование пространственных колебаний спутника относительно центра масс, движущегося по круговой орбите,

приводит к рассмотрению нелинейных уравнений (2.23) с учетом моментов (2.30). Анализ этих уравнений показывает, что дополнительные резонансные ситуации возможны для следующих частотных соотношений:

Исследование каждого из этих вариантов резонансных соотношений можно провести, как в вышерассмотренных случаях.

Таким образом, резонансные ситуаций при колебаниях спутника относительно центра масс могут быть самого различного происхождения. Последние могут быть рассмотрены для каждого конкретного случая по приведенной здесь схеме.

Из вышеприведенного анализа следует, что формы пространственных колебаний демпфированного спутника и критерии возбуждения пространственных колебаний в условиях резонансов были установлены в достаточно обозримой форме благодаря постановке этой задачи как задачи исследования пространственной устойчивости движения спутника в условиях резонансов. Поэтому здесь удалось определить как условия возбуждения пространственных движений спутника, так и провести анализ этих условий в зависимости от основных параметров системы, как, например, от коэффициентов демпфирования, эксцентриситета орбиты и т. п. Полученные условия позволяют установить не только возможные формы резонансных пространственных движений спутника, но и в ряде случаев подбором параметров системы не допускать появления таких колебаний спутника, т. е. сделать равновесное положение спутника на круговой орбите или его периодические колебания на эллиптической орбите устойчивыми в областях резонансов в нелинейной постановке.

Поясним несколько подробнее роль резонансов в вопросах устойчивости движения спутника в областях (1) и (4) (рис. 84).

В области в которой выполняются необходимые и достаточные условия устойчивости, спутник может совершать пространственные колебания в направлениях углов крена, рысканья и тангажа. Как показывают результаты исследований по определению амплитуд пространственных колебаний твердого тела в потенциальном поле сил (главы VII — IX), последние могут достигнуть значительной величины. Следовательно, наличие резонансов хотя и не нарушает достаточных условий устойчивости по Ляпунову, полученных в работе [14] для случая круговой орбиты, но могут сделать их выполнение при достаточно больших значениях амплитуд более трудновыполнимыми по сравнению с нерезонансными случаями.

В области (4), в которой выполняются лишь необходимые условия устойчивости, решение задачи пространственной

устойчивости движения позволяет заключить лишь о том, что в окрестностях резонансов устойчивость плоских колебаний спутника может нарушаться и возможно появление новых пространственных форм движений спутника.

Определение резонансных характеристик пространственных колебаний спутников и их устойчивости движения может быть выполнено так же, как и в главах VII — IX при изучении колебаний твердого тела в потенциальном поле упругих сил. Эти исследования показывают, что в областях пространственной неустойчивости движения твердых тел в потенциальном поле сил появляются устойчивые пространственные резонансные колебания тела с достаточно большими амплитудами, чем в нерезонансных случаях. Таким образом, в окрестностях резонансов спутник может совершать устойчивые пространственные колебания в направлениях углов тангажа, крена и рыскания. В качественном отношении основные результаты исследований пространственных колебаний твердых тел в потенциальном поле сил, в частности, в поле упругих сил, полученные в предыдущих главах, пригодны также для объяснения других специфических особенностей резонансных колебаний спутников, т. е. твердых тел, находящихся в ньютоновском поле сил.

Если предположить, что спутник не является демпфированным, т. е. в уравнениях (1.11) принять то усредненные уравнения допускают первые интегралы. Пользуясь ими, можно построить интегральные кривые и получить некоторое представление о характере пространственного движения спутника так, как, например, это было сделано при исследовании пространственных колебаний твердого тела в потенциальном поле упругих сил в главе VIII. Такое исследование для спутника выполнено в работе [32], в которой в окрестностях резонансов исследованы пространственные формы движения спутника относительно центра масс и построены его амплитуднофазовые характеристики. Ниже излагаются метод исследования и основные результаты этой работы. Так же как и в предыдущих параграфах, рассматривается движение спутника относительно центра масс, движущегося по круговой или слабо эллиптической орбите; при этом используется метод канонических преобразований в сочетании с методом усреднения. Выражение гамильтониана Н при движении спутника относительно центра масс определяется выражением [75, 128]

Здесь - функция Лагранжа, где кинетическая энергия Т определяется формулой и силовая функция гравитационного поля — выражением (1.3). Обобщенные

импульсы введены соотношениями

Введем обозначения: где - средняя орбитальная угловая скорость спутника, а — большая полуось орбиты, — гравитационная постоянная.

Далее при приближенном получении выражения гамильтониана Я будем удерживать члены до третьего порядка относительно и первого порядка относительно (при этом учитывается лишь второй порядок относительно Такая точность получения функции Гамильтона соответствует той точности, которая была принята при составлении нелинейных уравнений (1.11). В работе [32] в выражении функции Гамильтона Я удержан также член четвертого порядка относительно наличие которого позволяет получить колебания ограниченной амплитуды в направлении координаты

Учитывая вышесказанное, гамильтониан в безразмерных параметрах можно представить в виде [32]

где

- безразмерное время в перигее), — функции третьего и четвертого порядка относительно Если пренебречь то оставшаяся часть гамильтониана может быть использована для получения линейных уравнений движения спутника на эллиптической орбите.

С помощью канонических преобразований

где

гамильтониан Я может быть приведен к следующему виду:

где - функции третьего и четвертого порядка относительно переменных переменные введены соотношением

Здесь верхний знак относится к -области, а нижний — к -области (рис. 84). Переменные являются нормальными координатами системы, а -соответствующие им импульсы и собственные частоты.

Решение системы линейных уравнений, соответствующих гамильтониану можно представить в форме

где - произвольные постоянные интегрирования.

Рассматривая уравнения (2.37) как замену переменных, уравнения движения спутника, соответствующие полному гамильтониану Я (2.36), можно представить в виде

где в нужно выразить через соотношениями (2.37). Уравнения (2.38) представляют собой известную в аналитической механике каноническую систему уравнений в форме Гамильтона. Правые части уравнений (2.38) являются почти периодическими функциями причем при принятыхпредположениях о малости колебаний спутника выражение является малым по сравнению где — малый параметр. Тогда для анализа уравнений (2.38) могут быть

использованы асимптотические методы (метод усреднения). В случае, близком к резонансу, или при точном резонансе в правых частях уравнений (2.38) при их усреднении по быстрым переменным появятся члены с частотой, близкой или равной нулю, а в нерезонансном случае среднее значение будет равно нулю. Если в выражении Н учитывать лишь члены третьего порядка малости, то в рассматриваемой системе возможны резонансные ситуации, определяемые известными соотношениями (2.6), (2.7). Отметим, что усредненные уравнения первого приближения в резонансных случаях, соответствующие канонической системе (2.38), по-видимому, более коротким путем могут быть получены при помощи результатов работ [39—41]. Здесь в дальнейшем возможно использование также интегрального признака устойчивости, предложенного в этих работах для исследования резонансных колебаний механических систем, описываемых квазилинейными уравнениями, в том числе канонической системой уравнений в форме Гамильтона.

Остановимся здесь на случае резонанса

где — расстройка частот.

Тогда уравнения (2.38) после усреднения по быстрым фазам допускают следующие первые интегралы:

Здесь

Вводя обозначение из (2.41), (2.42) получим

где и индекс 0 обозначает начальное значение.

Учитывая соотношение имеем, что если , то а обращается в нуль только при выполнении условия или

На основании уравнений (2.43), (2.44) могут быть построены интегральные кривые, характеризующие возможные формы движения и равновесные состояния спутника в окрестности рассматриваемого резонанса.

Рис. 85.

На рис. 85 показана амплитудно-фазовая характеристика в плоскости для -области (верхний знак в выражении при условии На верхней части рисунка построены зависимости от на основании уравнения (2.44) и зафиксированы три начальные фазы для которых в нижней части рисунка построены соответствующие кривые Средняя кривая (штриховая линия) соответствует «сепаратриссному» значению начальных условий, и она разделяет области вращательного и либрационного движения, а точка Е соответствует равновесию в фазовой плоскости; отбудет медленно осциллировать между наибольшими и наименьшими значениями, зависящими от начальных условий. В силу интеграла (2.42) происходит «перекачка» энергии колебаний из орбитальной плоскости в поперечные и, наоборот, т. е. в условиях резонанса колебания в направлении угла тангажа взаимосвязаны с колебаниями в направлениях углов крена и рыскания. Анализ графических построений, аналогичных рис. 85, показывает, что при начальных условиях значение не изменяется заметно до тех пор, пока не будет выполнено неравенство При выполнении этого неравенства, т. е. в достаточно малой окрестности резонанса, значение становится сравнимым с Следовательно, имеет место возбуждение поперечных колебаний спутника за счет колебаний его в плоскости орбиты благодаря

«перекачке» энергии колебаний в окрестности резонанса. Этот факт установлен в работе [188] численным интегрированием точных уравнений движения спутника. На рис. 86 представлены амплитудно-фазовые характеристики движения в облаоти (в формуле (2.43) — нижние знаки) для двух случаев при возможны устойчивые периодические движения.

Рис. 86.

Если рассматривать начальные условия то оказывается, что существенного возбуждения по не будет, пока не будет выполнено неравенство т. е. заметная взаимосвязанность колебаний в направлениях углов тангажа, крена, рыскания имеет место лишь в достаточно малой окрестности резонанса. Однако при этом движение по и в силу интеграла (2.42) и по оказывается неограниченным (в принятом приближении).

Таким образом, результаты исследований [32, 188] о возможности появления взаимосвязанных движений спутника в

направлениях углов тангажа, крена и рыскания в областях резонансов находятся в полном согласии с ранее установленными явлениями о пространственной неустойчивости движения твердых тел в условиях резонансов в потенциальном поле сил, которые изложены в предыдущих главах, и также с результатами конкретного анализа пространственной устойчивости демпфированного спутника, приведенными в начале этого параграфа.

Условия пространственной неустойчивости движения спутника (2.18), (2.21), (2.29) в условиях субгармонических и почти-периодических резонансов позволяют в наглядной форме определять области резонансов, где возможно появление взаимосвязанных движений спутника. Однако эти условия зависят не только от расстроек частот , но и от коэффициентов демпфирования и других параметров, которые влияют на выполнение условий «перекачки» энергии колебаний между координатами спутника.