ВВЕДЕНИЕ

При решении многих прикладных задач в качестве динамической модели используется твердое тело или система твердых тел, подверженных действию определенной системы сил. Во многих исследованиях, описанных в литературе, колебания твердого тела изучаются на основе анализа линейных уравнений движения, полученных путем упрощений из точных нелинейных уравнений движения тела. Результаты анализа динамики твердых тел, полученные применением теории линейных колебаний, широко используются в самых различных отраслях техники. Согласно линейной теории колебания твердого тела в направлении некоторых его обобщенных координат при выполнении определенных условий могут происходить независимо друг от друга. Например, колебания твердого тела на упругих амортизаторах при наличии одной плоскости симметрии разделяются на две группы трехсвязных колебаний, а в случае двух плоскостей симметрии выделяются два главных направления и две группы связанных колебаний в плоскостях симметрии. Если же центр жесткости амортизации совпадает с центром тяжести амортизированного объекта и при этом главные оси жесткости совпадают с главными осями инерции системы, то колебания тела можно представить в виде совокупности невзаимодействующих элементарных вибраторов, соответствующих нормальным (главным) координатам. Таким же образом при выполнении некоторых условий симметрии относительно инерционных свойств и внешних силовых факторов колебания твердого тела в любом поле сил могут быть либо частично, либо полностью разделены. Характерными в этом отношении являются случаи раздельного изучения движений самолета в боковой и продольной плоскостях, изолированного анализа движений спутника в плоскости орбиты и в поперечных направлениях. В большинстве случаев такое положение, основанное на линейной теории колебаний, и легло в основу выбора числа степеней свободы твердого тела, т. е. в основу идеализации движения тела в одной плоскости, раздельного рассмотрения его поступательного и углового движений, наконец, в основу исследования движения тела как системы с одной степенью свободы и при других ограничительных предположениях.

Однако при этом необходимо иметь в виду то обстоятельство, что предполагаемый характер движения тела лишь в направлении некоторых из его обобщенных координат, основанный на линейных представлениях, может и не соответствовать реальной действительности, поскольку движение тела характеризуется изменениями его шести обобщенных координат; последние же связаны нелинейными соотношениями в точных уравнениях движения. Колебания тела только в направлениях части его координат могут иметь место в том случае, если движение его в направлении тех координат, в направлении которых движения предполагаются отсутствующими, ограничено соответствующими связями. Но, как известно, в ряде случаев, как, например, для некоторых амортизированных объектов, вибрационных машин такие связи отсутствуют; их также нет в случае движения самолета в продольной плоскости, движения спутника в плоскости орбиты и т. д. Поэтому в таких случаях нет уверенности в том, что предполагаемый характер движения тела в направлении отдельных его координат может быть реализован, следовательно, вопрос о возможных движениях твердого тела в поле сил должен быть, вообще говоря, решен исходя из анализа точных нелинейных уравнений движения рассматриваемого объекта.

Ввиду того, что обобщенные координаты тела связаны нелинейными соотношениями в его уравнениях движения, колебания тела в направлении одной из главных координат (квазинормальных) почти всегда приводят к возбуждению его колебаний в направлении других главных координат. Но, в большинстве случаев, последние малы по сравнению с первыми и интереса не представляют; однако возможны случаи, когда в системе осуществляется такое радикальное перераспределение энергии колебаний между координатами, что колебания тела, возбудившиеся в направлении некоторых его координат за счет нелинейных связей между ними, могут стать весьма интенсивными. Тогда колебания твердого тела оказываются взаимосвязанными в направлении его нескольких главных координат, т. е. тело в общем случае будет совершать сложное пространственное нелинейное колебательное движение [43, 47, 51, 55, 56].

Возбуждение таких колебаний, которые названы в настоящей монографии нелинейными пространственными колебаниями твердого тела, обусловленных радикальным перераспределением энергии колебаний между координатами тела, может иметь место лишь при определенных условиях. Прежде всего для этого необходимо выполнение некоторых резонансных соотношений между собственными частотами колебательной системы и частотами внешних возмущающих сил. Наличие резонансных соотношений является лишь необходимым условием, но не достаточным для возбуждения нелинейных пространственных колебаний тела.

Кроме того, условия возникновения последних определяются соотношениями между некоторыми параметрами системы, которые характеризуют взаимодействие между факторами, способствующими возбуждению этих колебаний, и факторами, препятствующими этому [48—49, 51, 53, 54, 58, 110—114]. Качественные и количественные характеристики резонансных колебаний твердого тела будут совершенно разными в зависимости от того, имеется ли перераспределение энергии или существенного перераспределения нет [43, 47, 49, 51, 55, 56].

Несмотря на важность изучения такого рода резонансных явлений при нелинейных колебаниях твердых тел, им до настоящего времени (вплоть до 60-х годов) было посвящено очень малое число оригинальных работ, хотя некоторые факты о возможностях возбуждения нелинейных колебаний, обусловленных явлением «перекачки энергии» колебаний, были отмечены для простейших механических систем с двумя степенями свободы [79, 133—135]. Л. И. Мандельштам, А. А. Витт и Г. А. Горелик, анализируя нелинейные колебания пружинного маятника как системы с двумя степенями свободы, показали возможность возбуждения угловых колебаний маятника его вертикальными колебаниями при отношениях парциальных частот системы . И. Мандельштам отмечает, что такое явление «перекачки энергии», которое наблюдается в пружинном маятнике, должно существовать при отношении парциальных частот системы х и системы у, близком к во всех системах, в которых разложение лагранжевой функции в ряд по степеням содержит члены, пропорциональные Основываясь на этом высказывании Л. И. Мандельштама в работе [79], И. И. Гольденблатом указано на возможность перекачки энергии вынужденных вертикальных колебаний висячих мостов в их нарастающие угловые колебания при том же отношении парциальных частот

А. Н. Крыловым в книге [117] рассмотрена задача о колебаниях сферического маятника и показано, что проекция траектории движущейся точки вертикально подвешенного маятника на горизонтальную плоскость является эллипсом, который при этом еще поворачивается. Анализируя промежуточные выкладки и окончательные формулы этой работы, нетрудно убедиться в том, что в настоящем случае также имеет место резонансная связанность колебаний маятника в направлениях его обобщенных координат, обусловленная явлением «перекачки энергии». Последнее и является причиной вышеупомянутого поворота эллипса.

По-видимому, впервые в работе В. О. Кононенко [109] при исследовании колебаний твердого тела относительно центра масс

экспериментальным путем была обнаружена возможность возбуждения нелинейных колебаний, обусловленных также перекачкой энергии колебаний тела между его обобщенными координатами в области субгармонического резонанса порядка 1/2. Он же в статье [110], анализируя колебания твердого тела на упругих опорах относительно центра масс, получил условия возбуждения такого рода субгармонических колебаний тела.

Далее В. В. Болотиным в работе [28] на примере простейшей механической модели указано на возможность взаимодействия параметрических и вынужденных колебаний. Л. Пуст [163], исходя из анализа свободных колебаний твердого тела на упругих опорах, являющегося динамической, моделью конкретного объекта, показал, что движения тела в направлении нормальных координат не всегда могут рассматриваться как независимые. Определению условий возбуждения колебаний вышеуказанного вида в области субгармонического резонанса посвящена также работа М. Я. Кушуля и Г. И. Аникеева [122].

Выяснение возможных режимов пространственных движений твердого тела и определение резонансных характеристик выполнено Р. Ф. Ганиевым в работе [43], в которой показано существование устойчивых пространственных колебаний тела относительно центра масс в областях резонансов рода и оценены амплитуды резонансных колебаний тела.

Начиная с 1965 года систематическому исследованию различных специфических особенностей нелинейных пространственных колебаний твердого тела и систем твердых тел посвящены работы Р. Ф. Ганиева [43—51], В. О. Кононенко [110—111] и совместные работы авторов настоящей монографии [53—61, 112—114], благодаря которым были окончательно сформулированы постановки задач о нелинейных резонансных колебаниях твердого тела, систем твердых тел, тел с вращающимися и колеблющимися частями; установлены основные механизмы перекачка энергии колебаний твердых тел в условиях резонансов и определены качественные и количественные закономерности пространственных колебаний тел в поле сил. Основные теоретические результаты, установленные авторами, были подтверждены экспериментальными исследованиями [49, 62, 70].

Учет определенных физических соображений при постановке задач о нелинейных колебаниях твердых тел и особенности используемых при этом математических методов позволяют разделить исследование пространственных колебаний тел на два этапа, которым соответствуют две основные постановки задачи [43, 47, 49, 51, 58, 111, 114].

На первом этапе выясняются условия возникновения пространственных колебаний рассматриваемых систем. При этом определяются возможные резонансные соотношения и те координаты,

которые могут стать резонирующими; устанавливаются критерии, при выполнении которых буду иметь место возникновение и дальнейшее развитие резонансных колебаний. В ряде случаев определение критериев возбуждения пространственных колебаний тела удается свести к исследованию устойчивости некоторых периодических и почти периодических режимов колебаний тела в условиях многократных резонансов. Такая задача устойчивости в этой книге названа пространственной устойчивостью движения.

Благодаря постановке задачи о движении твердых тел как задачи пространственной устойчивости движения для достаточно широкого круга рассматриваемых в монографии механических систем исследование нелинейных колебаний тел удалось довести до получения обозримых результатов, позволяющих построить области устойчивости в пространстве параметров для различных типов резонансов. При решении задачи пространственной устойчивости движения выясняются основные механизмы, которые обусловливают появление нелинейных пространственных колебаний твердых тел [48, 49, 51, 111].

Второй этап исследований целесообразно посвятить определению возможных режимов пространственных колебаний твердых тел в условиях резонансов и изучению их устойчивости движения. Если условия перераспределения энергии колебаний благоприятны, т. е. выполняются условия возбуждения пространственных колебаний изучаемых, систем, то тело будет совершать сложные пространственные периодические или почти периодические колебания. Именно, наиболее интересные явления возникают после перераспределения подводимой к системе энергии колебаний, которое осуществляется механизмом нелинейных связей между координатами тела. Задачей второго этапа и является изучение закономерностей развития нестационарных и стационарных нелинейных пространственных колебаний тела в областях пространственной неустойчивости.

Этот этап в математическом отношении более труден, и здесь приходится обращаться к построению периодических и почти периодических решений нелинейных систем, описывающих колебательное движение в целом, и анализировать устойчивость этих колебаний в случаях многократных резонансов.

Периодические режимы резонансных пространственных колебаний твердых тел для резонансов рода изучались в работах Р. Ф. Ганиева [43, 48, 49, 51] и в совместных исследованиях Р. Ф. Ганиева и В. О. Кононенко [55, 56], а результаты исследований почти периодических режимов колебаний твердых тел представлены в работах [49, 51].

Дальнейшее развитие представлений о пространственных колебаниях твердых тел получено при экспериментальных

исследованиях. При этом установленные авторами в теоретических исследованиях новые теоретические положения как о возможностях возбуждения нелинейных пространственных колебаний тел, так и о существовании различных специфических устойчивых режимов пространственных колебаний тел были подтверждены экспериментами, выполненными авторами на специально изготовленных механических моделях. Экспериментально изучались также такие случаи пространственных колебаний твердых тел, которые ранее не могли быть исследованы средствами теории [49, 62, 70].

Следующим шагом в изучении нелинейных пространственных колебаний твердых тел является решение прикладных задач с использованием представлений о специфических свойствах колебаний механических систем в условиях интенсивной перекачки энергии колебаний между обобщенными координатами изучаемых систем. При этом рассматривались пространственные колебания спутников, виброзащитных систем, вертолета, управляемых и гироскопических систем.

Нелинейные резонансные колебания недемпфированного спутника относительно центра масс рассмотрены в работе Брэкуэлла и Прингля [32], в которой на фазовой плоскости приведены возможные пространственные формы движения спутника. В статье Р. Ф. Ганиева и В. О. Кононенко [59] решена задача пространственной устойчивости движения демпфированного спутника относительно центра масс и получены условия возбуждения взаимосвязанных резонансных колебаний спутника в плоскости орбиты и в поперечных направлениях. В работе авторов [61] ставится и решается задача о резонансной взаимосвязи поступательного и вращательного колебательных движений твердого тела в ньютоновском поле сил. В работах А. П. Маркеева [136—139], Мейровича и Уэллса [189, 196] также изучались резонансные эффекты и устойчивость стационарного вращения спутника под действием гравитационного момента. Дальнейшее развитие изучения резонансных явлений в спутниках получило в трудах В. А. Гробова, А. В. Кудиненко [84], Моррисона [141], Хицла [178], Ликинза и Раута [124] и других авторов. Резонансные явления в предположении соизмеримости частот невозмущенного движения Эйлера — Пуансо при движении быстро закрученного спутника в ньютоновском поле сил рассматривались в работах А. П. Торжевского [172—173]; в исследовании Р. М. Бородиной выполнено изучение нестационарных процессов в динамике ИСЗ в случае резонанса при переходе из режима быстрого вращения в режим кувыркания [30].

Следует также отметить, что имеется ряд работ, посвященных изучению пространственных движений самолетов и ракет [37, 166]. Эднако в указанных работах механизмы, обусловливающие

пространственные движения этих объектов, не относятся к числу резонансных. Поэтому эти исследования находятся в стороне от вопросов, рассматриваемых в этой книге.

В некоторых работах изучены пространственные колебания управляемых систем, как, например, в статье Л. Г. Бояршиной [31], А. И. Макаренко [130]; в исследованиях В. М. Воробьева, Р. Ф. Ганиева, А. И. Лютого [52, 65—69] изучены резонансные явления гироскопов в кардановом подвесе, двухосных и трехосных гирорам, установленных на подвижном основании.

Решение некоторых прикладных задач применительно к задачам виброамортизации машин, приборов и аппаратуры представлено в статьях Р. Ф. Ганиева, К. В. Фролова и А. А. Щербины [70—73]. Некоторые свойства колебаний твердого тела при случайных возмущениях изучались Р. Ф. Ганиевым и В. М. Кузьмой [63, 64].

Краткий обзор выполненных работ и полученных результатов по изучению нелинейных резонансных пространственных колебаний твердых тел, изложенный выше, не претендует на полноту и не охватывает все работы, в которых обсуждались подобные вопросы. В нем отражены главным образом лишь те работы, которые непосредственно посвящены изучению нелинейных резонансных пространственных колебаний твердых тел и их приложениям.

Результаты исследований нелинейных пространственных колебаний твердых тел, имеющиеся к настоящему времени, позволяют получить достаточно ясное представление о специфических особенностях и свойствах пространственных колебаний твердых тел, предсказать возможности появления такого рода колебаний в ряде прикладных объектов.

В настоящей книге предпринята, по-видимому, первая попытка систематического изложения результатов исследований нелинейных пространственных колебаний твердых тел и приложений этих результатов.