§ 4. Трехосная гирорама

1. Уравнения движения.

Данная гироскопическая система представляет собой платформу, несущую три двухстепенных симметричных гироскопа и подвешенную с помощью двух колец (рис. 105). Будем считать, что для данной системы справедливы все рассуждения и выкладки § 1 при Кроме того, далее будем полагать в системе координат

Рис. 105.

Угол х определяет расположение гироскопов на платформе. Можно легко показать, что при таком выборе кинетическая энергия системы не зависит от угла х. Пусть основание гиросистемы движется по закону

Так как гиросистема предполагается свободной и уравновешенной, то ее потенциальная энергия равна нулю. Кинетическая энергия системы с учетом сказанного выше имеет вид (1.1).

Применив схему Лагранжа к выражению (1.1), получим уравнения движения системы. Это — система девяти нелинейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, каждое из которых второго порядка, причем три уравнения

имеют первые интегралы вида

где - собственные кинетические моменты роторов гироскопов. Остальные уравнения движения системы не приводятся, из-за их громоздкости.

Уравнения движения системы допускают следующие частные решения: при

при

где — собственная угловая скорость ротора.

Уравнения движения системы с точностью до величин первого порядка малости относительно имеют частное решение вида

Уравнения возмущенного движения гирорамы относительно решения (4.4) для возмущений и их

(кликните для просмотра скана)

2. Исследование устойчивости движения системы.

Решение уравнений (4.5) при имеет вид

где

— собственные частоты колебаний трехосной гирорамы,

Из (4.6) следует, что при любом симметричном расположении гироскопов в плоскости платформы, взаимовлияние гироскопов на движение им соответствующих наружных колец в нулевом приближении не сказывается.

Методика исследования устойчивости гирорамы такая же, как и в предыдущем параграфе, и поэтому ввиду ее громоздкости здесь не приводится.

Рассмотрим нерезонансный случай, когда т. е. основание гирорамы подвержено угловой одночастотной вибрации. Если за нулевое приближение решения уравнений (4.5) принять (4.6), то из уравнений первого приближения следует, что гиросистема совершает затухающие колебания по параметрам а по имеет уход со средней скоростью вида

Следовательно, уход имеет только третий гироскоп (рис. 92). Объяснение этого явления состоит в том, что наружное кольцо (первое кольцо гирорамы) только третьего гироскопа имеет одну степень свободы относительно основания. Соответствующие наружные кольца остальных гироскопов имеют по крайней мере две степени свободы относительно основания гирорамы.

Исследуем теперь устойчивость решения (4.4) уравнений движения гирорамы при выполнении резонансных соотношений между

частотами вибрации основания гирорамы и частотами ее собственных колебаний

Резонанс При этом резонансе в системе могут возбудиться колебания по координатам Условие возбуждения этих колебаний имеет вид

Следовательно, движение гиросистемы может оказаться неустойчивым в условиях резонанса при определенных соотношениях параметров.

Рассмотрим теперь возможные комбинационные резонансы в системе.

Резонанс . В условиях этого резонанса в системе могут возбудиться колебания по координатам Условие возбуждения этих колебаний имеет вид

где

Итак, движение гирорамы при резонансе может оказаться неустойчивым при определенных соотношениях параметров системы.

Заметим, что других возможных неустойчивых состояний системы при комбинационных резонансах вида в первом приближении не будет.

В результате выполненного исследования показаны некоторые механизмы неустойчивости движения гироскопических систем на вибрирующем основании в условиях резонансов и дан качественный анализ условий устойчивости в зависимости от основных параметров рассматриваемых систем. Эти результаты могут быть дополнены с учетом других, имеющих место в реальных гироскопических системах, факторов, например, моментов разгрузочных двигателей.