§ 3. Периодические режимы пространственных колебаний тела в областях одночастотных резонансов n-го рода (n=1, 1/2, 1/3)

Пусть внешние возмущающие силы и моменты имеют значения:

Для определенности также принимаем, что частота соответствуювдая

координате 0, удовлетворяет резонансному соотношению где расстройка частот Поступая так же, как и в § 1, получим следующие уравнения для определения амплитуд колебаний тела в направлении координаты 0:

где

Сделав замену получим

Далее, складывая и вычитая уравнения системы (3.2), соответственно получим

Пользуясь уравнениями (3.3), можно определить амплитуды и фазы устойчивых колебаний

Рассмотрим частные случаи.

Если , то уравнения (3.3) примут вид

Система уравнений (3.4) по своей структуре одинакова с подробно исследованными уравнениями (1.15) для случая резонанса второго рода Следовательно, амплитуда и фаза 64 будут равны

Резонансные кривые имеют вид, как показано на рис. 30 для и на рис. 31 для Исследование устойчивости колебаний также показывает, что устойчивыми оказываются верхние ветви кривых и движение будет происходить так, как показано на резонансных кривых стрелками.

Аналогично предыдущему случаю также могут быть построены интегральные портреты. При уравнения (3.4) допускают первый интеграл

Найденный интеграл отличается от соотношения (2.2) только значениями постоянных коэффициентов Следовательно, в рассматриваемом случае в зависимости от соотношения параметров системы имеют место все те же интегральные кривые, которые получены для резонанса типа

Пусть но Тогда уравнения (3.3) примут вид

Амплитуда и фаза стационарных колебаний определяются уравнениями

откуда, исключая фазу , находим зависимость между амплитудой и расстройкой частот :

Резонансная кривая, построенная по формуле (3.8) при в координатах имеет вид, как показано на рис. 33, 34.

Исследование устойчивости решения проведенное на основе системы (3.7) составлением уравнений в вариациях и с последующим применением условий Рауса—Гурвица, позволяет легко установить зоны устойчивых и неустойчивых амплитуд. Устойчивыми оказываются участки резонансной кривой и Точки В и будут являться точками срыва и скачка амплитуды.

Движение системы в направлении координаты при увеличении или уменьшении будет происходить согласно рис. 33, 34, как показано стрелками.

Таким образом, в некоторых частных случаях колебания, возбудившиеся при резонансе носят характер вынужденных нелинейных колебаний в системе с одной степенью свободы в области основного резонанса.

Уравнения (3.7) при допускают интеграл

где — произвольная постоянная. Интеграл имеет место также в более общем случае, например при который может быть получен из уравнений (3.3) и имеет вид

где С—произвольная постоянная.

Полученные интегралы могут быть использованы при построении портретов движения тела, которые, по-видимому, в рассматриваемом случае следует выполнять численно при конкретных значениях параметров системы.

Выше были рассмотрены два частных характерных случая пространственных колебаний твердого тела.

В общем случае, как видно из уравнений (3.1), (3.2), колебания в направлении координаты будут подчиняться более сложным закономерностям. Резонансные кривые и их устойчивые ветви могут быть получены таким же образом, исходя из упомянутых выше уравнений без принципиальных трудностей.

Анализ всех остальных случаев резонансных соотношений вида приводит к одинаковым результатам относительно характера возбудившихся колебаний в направлении соответствующих координат

Резонанс типа Пусть внешние возмущающие силы и моменты имеют значения:

Выполняется резонансное соотношение вида , в частности,

Уравнения для определения колебаний в направлении координаты 0 имеют вид

где

или в тригонометрической форме:

где

Амплитуда и фаза стационарных колебаний определяются из уравнений

откуда имеем

Выражение (3.14) отличается от выражения (3.8) только постоянными коэффициентами, следовательно, резонансные кривые также будут одинаковыми (рис. 33, 34). Исследование устойчивости этого решения подтверждает, что движение тела в направлении координаты 0 при происходит так, как показано стрелками на рис. 33, 34.

Уравнения (3.12) при допускают первый интеграл вида

где — произвольная постоянная.

Аналогичное исследование, проведенное для каждой из частот удовлетворяющей соотношению показывает, что в направлении любой координаты (соответствующей принятому резонансу) возбудившиеся колебания происходят по одинаковым закономерностям.

Резонанс типа Внешние возмущающие силы и моменты имеют значения

и выполняется резонансное соотношение вида в частности

Уравнения для определения колебаний тела в направлении координаты 0 имеют вид

где

или в тригонометрической форме:

Амплитуда и фаза стационарных колебаний определяются уравнениями

откуда резонансная кривая и характер устойчивых и неустойчивых ветвей определяются согласно рис. 33, 34.

Уравнения (3.17) при допускают первый интеграл

где — произвольная постоянная.

Анализ, аналогичный проведенному, для других частот, удовлетворяющих соотношению

позволяет установить, что возбудившиеся колебания, в направлении всех координат качественно подчиняются также одинаковым закономерностям.

Выше мы рассматривали лишь первый и второй случаи действия внешних сил (1.2). Однако исследование других возможных случаев действия внешних сил приводит качественно к тем же (выше полученным) результатам. Таким образом, при действии силы или момента в направлении одной из координат колебания, которые возбуждаются в направлении любой другой резонансной координаты, происходят одинаково (для принятого резонансного соотношения).

Мы рассматривали лишь резонансы, приводящие к двумерному движению тела, т. е. когда движение тела осуществляется в направлении двух координат: координаты, возбуждаемой непосредственно действием силы или момента, и второй координаты, для которой выполняется резонансное соотношение вида

Теперь приступим к исследованию тех случаев, когда резонансному соотношению удовлетворяет одновременно несколько частот, в. частности, две частоты и