§ 3. Дифференциальные уравнения движения твердого тела

Движение твердого тела описывается в общем случае векторными уравнениями

где - скорость центра масс тела, — момент количеств движения тела относительно центра масс, — главный вектор и главный момент сил, действующих на тело.

Движение центра масс тела обычно рассматривается по отношению к системе неподвижных осей

В проекциях на эти оси первое уравнение (3.1) имеет следующий вид:

где - проекции вектора и вектора Н на оси

Движение тела около центра масс относят либо к подвижной системе осей, либо к неподвижной системе осей в зависимости от характера и специфики задачи.

Движение тела около центра масс в проекциях на оси связанной с телом подвижной системы осей Огху , которые являются главными центральными осями инерции тела,

описывается уравнениями Эйлера:

Эти уравнения получаются путем проектирования второго векторного равенства (3.1) на оси подвижной системы Оххуг с использованием правила дифференцирования вектора, согласно которому

где определены соотношениями (2.8).

В системе уравнений (3.2, 3.3) поступательное движение тела отнесено к неподвижным осям системы вращательное движение (его угловая скорость отнесено к подвижным осям которые являются главными центральными осями инерции тела. Иногда целесообразно относить как поступательное, так и вращательное движение тела к единой системе осей, которая может быть неподвижной или движущейся. Положим, что система осей совершает вращательное движение с угловой скоростью вокруг неподвижной точки О. Уравнения движения твердого тела в этой системе осей можно получить путем проектирования на оси векторного уравнения (3.1), можно также воспользоваться теоремой Резаля, как это сделано в работе [148]. Уравнения движения тела в системе движущихся осей будут следующими:

В этих уравнениях проекции угловой скорости движения системы осей на эти же оси обозначены величины являются проекциями вектора скорости центра масс тела на оси проекции момента количеств движения тела относительно точки О обозначены Величины являются проекциями на оси системы главного вектора Н и главного момента М внешних сил относительно точки О. Чтобы записать уравнения (3.5), (3.6) для неподвижной системы осей достаточно положить в них равными нулю проекции угловой скорости