§ 2. Пространственная устойчивость движения управляемого спутника

Для исследования пространственных движений спутника относительно центра масс используются уравнения, полученные в главе X. При движении центра масс спутника по круговой

орбите эти уравнения имеют вид

где

- коэффициенты демпфирования, - самолетные углы, А, В, С — моменты инерции спутника.

Предположим, что на спутнике установлена активная система регулирования трехпозиционного типа. Для простоты рассмотрим действие такой системы только в плоскости тангажа. Регулятор имеет чувствительный элемент, измеряющий отклонение от заданного угла тангажа и скорость этого отклонения далее значения вводятся в суммирующее устройство. Таким путем вычисляется значение аргумента управляющей функции Уравнения движения (2.1) с учетом системы регулирования запишутся

где с — величина регулирующего момента, - управляющая релейная функция, - коэффициенты, характеризующие ввод отклонения и скорости отклонения.

Очевидно, что система уравнений (2.2) допускает частное решение вида

где решение определяется из уравнения

Движение, описываемое уравнениями (2.4), достаточно полно изучено в [7,161], где методами точечных преобразований и фазовой плоскости показано существование периодических решений типа автоколебаний. Предполагая существование решения, близкого по форме к уравнение (2.4) можно представить

где - неизвестные пока амплитуда и частота автоколебаний, которые определяются ниже.

Рис. 108.

Будем считать, что управляющая функция является симметричной релейной функцией с временным запаздыванием, зоной нечувствительности и петлей гистерезиса (рис. 108).

Для решения уравнения (2.5) применяется метод усреднения. Вводя новые переменные заменой получим

Производя в (2.6) усреднение по времени с учетом вида управляющей функции находим

где

- временное запаздывание, — коэффициент возврата реле, — ширина зоны нечувствительности,

Для нахождения стационарных значений амплитуды и частоты автоколебаний положим

Однако получить решение системы уравнений (2.7) в аналитическом виде при условии (2.9) для управляющей функции, представленной на рис. 108, затруднительно. Поэтому рассмотрим отдельно каждый Случай неидеальности реле.

Например, для релейной характеристики, близкой к идеальной, при малом временном запаздывании таком, что полагая в получим значения амплитуды и частоты автоколебаний в виде

Релейная характеристика с неидеальностью типа петли гистерезиса получается из релейной функции (рис. 108) при в этом случае для амплитуды автоколебаний имеем выражение

а частота автоколебаний определится из уравнения

Для релейной характеристики с зоной нечувствительности при и малом таком, что удовлетворяется приближенное соотношение получим

Таким образом, уравнение (2.5) имеет периодическое решение вида

где величины амплитуды и частоты периодического решения (2.14) определяются для каждого конкретного случая из выражений (2.10) — (2.13).

Автоколебания устойчивы, если выполняется неравенство

где

Полагая в (2.15) , далее получим условия устойчивости для каждого конкретного случая неидеальности реле.

Рассмотрим устойчивость частного решения

Преобразуем систему (2.2) к стандартной форме при помощи замены переменных

Здесь - новые переменные, — частоты линейной системы, определяемые формулами

В новых переменных система (2.2) имеет вид

где

Предположим, что между частотой автоколебаний и собственными частотами со выполняются точно или приближенно резонансные соотношения

Приближенное решение системы (2.18) будем искать в форме:

Рассмотрим сначала первый из резонансов (2.19), т. е. положим

где — расстройка частот, остальные

Подставим (2.20) в (2.18) и усредним по явно входящему времени; с учетом (2.21) получим

где

Из (2.17) следует, что частному решению (2.16) соответствует частное решение системы (2.22) вида

Неустойчивости решения (2.23) соответствует возбуждение колебаний по координатам .

Состояние устойчиво, поскольку из выражений для , следует, что поэтому состояние также устойчиво.

Для выяснения устойчивости состояния преобразуем уравнение для и при помощи замены

и получим

Состояние устойчиво, если выполняются неравенства

Легко показать, что первое из условий (2.25) выполняется, а второе условие (2.25), записанное через параметры системы, имеет вид

Для упрощения дальнейшего анализа положим в (2.26) , т. е. будем считать, что резонансное соотношение (2.21) выполняется точно.

Рис. 109.

Неравенство (2.26) можно представить в виде

Выражение амплитуд автоколебаний спутника для разных случаев систем регулирования можно представить в виде:

а) с временным запаздыванием:

б) с петлей гистерезиса:

в) с зоной нечувствительности:

Построим области устойчивости для каждой конкретной неидеальности реле согласно неравенству (2.27). Если выполняется условие то области устойчивости имеют вид, представленный на рис. 109 (а, б, в) для случая регулятора с временным запаздыванием, петлей гистерезиса и зоной нечувствительности соответственно.

При области устойчивости представлены на рис. 110.

Рис. 110.

Таким образом, наличие в системе регулирования малых по величине временного запаздывания, петли гистерезиса и зоны нечувствительности при расширяет область устойчивости частного решения (2.16), а при наоборот, приводит к ее сужению.

Рассмотрим резонансное соотношение из (2.19) вида

Поступая аналогично изложенному, получим следующие условия устойчивости частного решения (2.16):

Здесь выражаются через параметры спутника (см. формулы главы X, стр. 298). Первое условие (2.32) выполняется, а второе имеет вид

где величина К зависит от параметров спутника, амплитуда автоколебаний.

Для неравенства (2.33) можно провести исследование как и для неравенства (2.27) в случае резонанса (2.21).

Из приведенного анализа следует, что наличие системы регулирования вносит существенные изменения в характер движения спутника, описываемого частным решением (2.16).

Если неравенства (2.27), (2.33) не выполняются, то плоское управляемое автоколебательное движение спутника оказывается неустойчивым, тогда возможно появление пространственных управляемых автоколебаний спутника.