§ 3. Двухосная гирорама на вибрирующем основании

1. Уравнения движения и исследование устойчивости.

Рассматриваемая гирорама представляет собой два трехстепенных гироскопа, соединенных в единую систему (рис. 100). Считаем, что для данной системы справедливы все выкладки и предположения § 1 при

Здесь — угол поворота наружного кольца относительно основания, -поворота платформы Р относительно наружного кольца (рис. 100), - угол поворота кожуха гироскопа относительно платформы, поворота ротора относительно соответствующего кожуха

Рис. 100.

Моменты инерции элементов системы, если исходить из (1.2), примут следующий вид: для наружного кольца, — платформы, кожуха, ротора относительно систем осей

Кроме того, мы будем предполагать, что (гироскопы на платформе — астатические), в системе координат Охгуггг (х — угол,

определяющий расположение гироскопов на платформе),

Основание гирорамы подвержено малым угловым вибрациям вида

Гирорама предполагается свободной и уравновешенной, поэтому потенциальная энергия ее равна нулю. Кинетическая энергия системы имеет вид (1.1) при Применив схему Лагранжа к выражению (1.1), получим уравнения движения системы. Это — система шести нелинейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, каждое из которых второго порядка, причем два уравнения имеют первые интегралы

где и - собственные кинетические моменты роторов гироскопов.

Остальные уравнения движения системы не приводятся из-за их громоздкости.

Система с точностью до величин первого порядка малости допускает частное решение вида [67]

а при имеет точное частное решение вида

где — постоянные угловые скорости собственного вращения роторов.

Физический смысл решений (3.1), (3.2) заключается в том, что гиросистема сохраняет угловое равновесное состояние в инерциальной системе координат.

Уравнения возмущенного движения гирорамы относительно решения (3.1) для возмущений имеют вид [67]

Здесь введены следующие обозначения:

(см. скан)

- коэффициенты моментов сил вязкого трения в подшипниках осей подвеса.

Как следует из вида уравнений (3.3), взаимодействие гироскопов при т. е. сказывается в нулевом приближении Здесь дальнейшие исследования приведены для случая Для решения данной задачи воспользуемся методом усреднения, изложенным в главе VIII. Приведем систему (3.3) к стандартному виду следующей заменой

(кликните для просмотра скана)

Здесь

Из формул (3.7а) находим

где — постоянные интегрирования.

Из (3.5) и (3.76) следует, что первый гироскоп имеет уход по углу (угол поворота кожуха относительно платформы). Среднюю скорость этого ухода можно представить в виде

Второй гироскоп ухода не получает. Это происходит потому, что наружное кольцо второго гироскопа (платформа гирорамы) имеет две степени свободы относительно основания, в то время как наружное кольцо первого гироскопа (наружное кольцо гирорамы) обладает одной степенью свободы относительно основания.

Нетрудно показать, что в случае уходы получают оба гироскопа. Здесь сказывается их взаимовлияние в нулевом приближении. Выражение, аналогичное (3.8) для ухода астатического гироскопа, при воздействии двухкомпонентной одночастотной угловой вибрации на его основание, получено В. И. Климчуком [101].

Исследуем устойчивость системы в условиях субгармонических и комбинационных резонансов. Уравнения (3.6) для резонансных случаев после усреднения и соответствующие условия устойчивости запишем в виде: при

(первые два неравенства из (3.10) выполняются всегда для

(кликните для просмотра скана)

Заметим, усредненных уравнениях (3.9), (3.11), (3.13), (3.15) решение соответствует решению (3.1) уравнений движения гирорамы. Покажем, что условия (3.10) и (3.12) при определенных параметрах системы могут выполняться. Рассмотрим числовой пример [159]

Условия (3.10) и (3.12) примут вид: . Отсюда следует, что при малом вязком трении (например, см сек) в подшипниках осей подвеса неравенства (3.10) и (3.12) могут не выполняться.

Итак, если основание гирорамы подвержено угловой вибрации, действующей вокруг оси, параллельной в начальный момент времени осям собственного вращения роторов, то равновесное положение гирорамы может быть неустойчивым при резонансах Неустойчивость гирорамы при резонансах заключается в том, что возбуждаются колебания по координатам соответственно.