§ 4. Пространственная устойчивость колебаний твердого тела в условиях резонансов

Из анализа структуры квазилинейных уравнений модельной системы (2.3.11) можно установить, что эти уравнения отражают возможности существования нелинейных резонансных состояний при следующих соотношениях частот:

Здесь предполагается, что на тело действует гармоническая сила в направлении одной из координат тела В формировании резонансов (4.1), (4.2) определяющая роль принадлежит нелинейным членам второй степени относительно координат и их производных, остальные резонансы формируются нелинейными членами третьей степени.

В резонансные соотношения (4.1), (4.3) входит частота внешнего воздействия со. Эти резонансы возникают и поддерживаются за счет энергии вынужденных колебаний. Им будет далее уделяться основное внимание. В резонансные соотношения (4.2), (4.4) частота не входит. Такие резонансы иногда называют внутренними. Они могут реализоваться благодаря действию неконсервативных сил, связанных с подводом энергии к системе, однако в уравнениях (2.3.11) такие силы не представлены. Заметим, что наличие соотношения частот типа внутреннего резонанса существенно сказывается на свободных колебаниях твердого тела: возникают режимы типа биений, которыми сопровождается перераспределение («перекачка») энергии свободных колебаний между координатами системы. Эти явления четко реализуются в натурных системах, что будет показано далее, при обсуждении материалов экспериментов.

Обратимей к анализу пространственной устойчивости колебаний твердого тела в условиях каждого резонанса в отдельности. Будем при этом пользоваться методом построения частных решений, элементы которого были описаны в § 2.

Резонанс типа . Определить устойчивость вынужденных колебаний тела в условиях, когда одна из частот его собственных колебаний близка к значению половины частоты внешней силы, отнесенной к одной из координат твердого тела. Пусть для определенности внешняя сила приложена в направлении координаты Следует различать две возможности:

а) резонансное движение возбуждается в направлении одной из пяти координат, относительно которых внешняя сила не приложена, т. е.

б) резонансное движение возбуждается в направлении той же координаты, относительно которой действует внешняя сила

Первая возможность представляется значительно интересней своей необычностью или «неожиданностью», тем более, что многие привыкли ассоциировать направление движения с направлением действующей силы.

Вторая возможность выглядит более обычной и легко ассоциируется с известными представлениями, например, с резонансом рода или с параметрическими колебаниями. Желая подчеркнуть специфичность нелинейных колебаний твердого тела, мы не будем пользоваться ассоциациями, связанными с явлениями в нелинейных системах с одной степенью свободы. Основанием для такого отношения может служить хотя бы тот факт, что большинство изучаемых явлений лишается смысла и существования, как только мы переходим к одной степени свободы, «замораживая» все координаты твердого тела, кроме одной. Чтобы оттенить обсуждаемую специфику колебаний твердого тела, а также в интересах краткости изложения, будем называть несобственными резонансами такие, когда резонансное движение возникает в направлении координат, относительно которых внешняя сила не приложена (т. е.

В отличие от них собственными резонансами будем называть такие, которые развиваются в направлении действия внешней силы.

Для дальнейшего анализа необходимо конкретизировать задачу, выбрав конкретную резонирующую координату Пусть этой координатой будет угловая координата в, т. е. Следовательно, изучается резонансное соотношение

Далее составляем два уравнения вида (2.10) для резонансной координаты и уравнения (2.11) для пяти нерезонансных координат.

Выполнив с учетом соотношения (4.5) операции усреднения, указанные для уравнений (2.10), (2.11), получим следующие уравнения, которые описывают поведение огибающих колебательного движения:

— для резонансной координаты

— для нерезонансных координат

Как видим, уравнения для резонансной координаты оказались независимыми от уравнений для нерезонансных координат.

Последние имеют одинаковую структуру как для возбуждаемой внешней силой координаты так и для невозбуждаемых координат что объясняется выбранной формой искомого решения (2.2), (2.6). В уравнениях (4.6), (4.7) удержаны лишь линейные члены, поскольку они в наших случаях достаточны для решения задачи об устойчивости движения.

Нас интересует устойчивость решения

системы уравнений (4.6), (4.7).

Из уравнений (4.7) следует, что поскольку все рассматриваемое решение устойчиво по отношению к переменным . Условия устойчивости по отношению к переменным получим из уравнений (4.6) в виде

Последнее неравенство может не выполняться, тогда решение окажется неустойчивым, возникнут резонансные колебания тела в направлении координаты 0 с частотой . Движение тела из одномерного разовьется в двумерное — будут одновременно существовать колебания в направлении координаты с частотой и и колебания в направлении координаты 0 с частотой В начале резонансного процесса движение тела можно описать посредством решений уравнений (4.6), (4.7), полагая, что второе неравенство (4.8) не выполнено:

Неравенство (4.8) можно трактовать как соотношение между дестабилизирующими и стабилизирующими факторами. Последними являются сила сопротивления движению в направлении координаты 0 (коэффициент ) и величина расстройки между частотами Дестабилизирующие факторы, происходящие от нелинейных связей между координатами твердого тела, представлены коэффициентом При точной настройке на резонанс, т. е. при неравенство (4.8) переходит в простое

соотношение

из которого видно, что неустойчивость можно устранить либо путем увеличения либо путем уменьшения величины

Последняя возможность зазисит от структуры потенциального силового поля, поскольку в выражении величина является коэффициентом у нелинейного члена вида в четвертом уравнении системы (2.3.11). Применительно к модельной системе с упругими элементами, которые расположены согласно рис. 10, коэффициент определяется следующим образом (приложение 2):

где - коэффициенты жесткости упругих элементов, длины, — координаты точек крепления элементов, А — момент инерции тела. Отсюда видно, что путем надлежащего подбора величин жесткости упругих элементов можно добиться желаемого соотношения в неравенстве (4.8). Так, если подобрать так, чтобы выполнялись соотношения

тогда будет следовательно, неравенство (4.8) будет выполнено, состояние будет устойчивым; резонансные колебания координаты 0 возникнуть не смогут.

Дополним изложенное представлениями о качественном поведении интегральных кривых в окрестности изучаемого режима движения Особые точки уравнений (4.6) являются устойчивыми узлами (рис. 16). Тип особой точки зависит значений корней характеристического уравнения системы (4.7)

Эта точка будет

— устойчивым узлом (рис. 16), если действительные и отрицательные,

— устойчивым фокусом (рис. 17), если комплексносопряженные, а их вещественные части отрицательны,

— седлом (рис. 18), если действительные разных знаков.

(кликните для просмотра скана)

Расположение особых точек на шоскости параметров представлено на рис. 19. Параметры связаны с корнями соотношениями

где

Кривая отделяет область устойчивых узлов от области устойчивых фокусов. Область неустойчивости — область седел — располагается в левой полуплоскости.

Иногда удобно изображать область неустойчивости на плоскости параметров пользуясь вторым неравенством (4.8). На рис. 20 эта область (заштрихованная) построена для двух значений

Здесь видно, что увеличение делает область устойчивости более узкой и смещает ее вверх от значений - роль сил сопротивления движению становится наглядной.

Рис. 20.

Аналогичные результаты получим из анализа любого другого соотношения частот типа (4.5). Разница, однако, появится в случае, если в резонансном соотношении окажется координата, относительно которой действует внешняя сила, т. е. если будет . В таком случае (случай собственного резонанса) движение останется при неустойчивости одномерным, но будет представлять собой наложение резонансных колебаний вида

на вынужденные колебания Критерий неустойчивости будет аналогичным (4.8).

Резонанс типа Определим устойчивость вынужденных колебаний тела в условиях, когда одна из частот его собственных колебаний близка к значению -удвоенной частоты внешней силы, отнесенной к одной из координат твердого тела. Пусть по-прежнему внешняя сила

приложена в направлении координаты в качестве резонансной координаты выберем

Предполагается, что имеет место резонансное соотношение

Аналогично предыдущему случаю получим уравнения для огибающих амплитуд

— резонансной координаты

— для остальных, нерезонансных координат

Эти уравнения имеют следующие частные решения:

Анализ устойчивости полученных решений, который здесь не представляет трудностей, показывает, что они устойчивы, поскольку

Следовательно, в условиях соотношения частот (4.10) исходное состояние движения твердого тела

оказывается неустойчивым. Вместо него возникает новый устойчивый режим движения следующего вида:

где

Как видим, амплитуда резонансных колебаний А координаты 0 может быть большой при малых в ряде случаев она может в несколько раз превышать амплитуду колебаний координаты Происхождение резонансных колебаний тела в

направлении координаты 0 связано с наличием нелинейного члена вида в четвертом уравнении системы (2.3.11), принадлежащего к нелинейным силам потенциального поля. В модельной системе с упругими элементами, расположенными согласно схеме рис. 9, коэффициент формируется из жесткостей упругих элементов и геометрических параметров упругой системы (приложение 2). Надлежащим подбором величин можно добиться того, чтобы и таким путем исключить возможность возникновения резонансных колебаний рассматриваемого вида. Если то, как видно из уравнений (4.11), особая точка является центром. Область неустойчивости состояния представлена в параметрах на рис. 21 в виде полосы, ширина которой уменьшается с увеличением коэффициента сопротивления

Рис. 21.

Резонанс типа Определим устойчивость вынужденных колебаний тела в условиях, когда одна из частот его собственных колебаний близка к значению -утроенной частоты внешней силы, отнесенной к одной из координат тела.

По-прежнему считаем координату возбуждаемой внешней силой координату 0 считаем резонансной, таким образом, рассматриваем резонансное соотношение

Получаем уравнение огибающих для резонансной координаты

где

и уравнения для остальных нерезонансных координат, которые совпадают с уравнениями (4.12).

Уравнения (4.15) допускают устойчивое стационарное решение

Таким образом, возникают устойчивые резонансные колебания

где

Особая точка является центром, область неустойчивости в параметрах имеет тот же вид, что на рис. 21.

Происхождение резонансных колебаний в направлении координаты 0 здесь связано не только с нелинейными упругими силами вида (приложение 2), но и с нелинейной силой инерционного характера вида

Резонанс, типа Определим устойчивость вынужденных колебаний тела в условиях, когда одна из частот его собственных колебаний близка к частоте со внешней силы, отнесенной к одной из координат.

Необходимо обратить внимание на существенное отличие рассматриваемого типа нелинейного резонанса от обычного или основного резонанса колебательной системы. В обычном случае собственного резонанса частота собственных колебаний близка к частоте внешней силы со, но при этом колебания возникают в направлении только той координаты, относительно которой действует внешняя сила. Такой резонанс описывается линейной частью уравнений; в нашем случае, когда сила действует относительно координаты этот резонанс может описать ражение

которое содержится в составе искомого решения (3.1). В рассматриваемом же здесь случае нелинейных резонансов типа возможны качественно отличные явления — резонансные колебания возникают в направлении координат по отношению к которым внешняя сила не действует.

Полагаем, как и ранее, что внешняя сила действует в направлении координаты координату 0 считаем резонансной, т. е. рассматриваем конкретное резонансное соотношение

Уравнения огибающих для резонансной координаты получаем

в следующем виде:

где

Предварительно рассмотрим два частных случая. Предположим сначала, что Тогда уравнения (4.18) допускают устойчивое стационарное решение соответствующее резонансным колебаниям тела вида

где

Колебания тела, которые возникают согласно этому решению, имеют такой же характер возбуждения, как и в случаях резонансов типа

Предположим далее, что но Уравнения (4.18) допускают решение устойчивость которого определяется неравенствами

При определенных соотношениях параметров системы второе из неравенств может не выполняться и резонансные пространственные колебания будут иметь вид

Сравнивая соотношения (4.19) с условиями (4.8), приходим к заключению, что здесь процесс развития колебаний тела носит такой же характер, что и в случае резонанса типа

Следует заметить, что при неравенства (4.19) выполняются независимо от остальных параметров системы.

Таким образом, возбуждение пространственных колебаний в области основного резонанса может носить как характер резонанса типа (на обертоне внешней частоты), так и характер резонанса типа (демультипликационного резонанса). В общем случае уравнения (4.18) допускают стационарное решение

Резонансные колебания тела имеют вид