ГЛАВА IV. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА, ПОРОЖДАЕМАЯ НЕЛИНЕЙНЫМИ РЕЗОНАНСАМИ

§ 1. Природа неустойчивости вынужденных колебаний твердого тела в условиях нелинейных резонансов

Нелинейные колебания твердого тела разнообразны и многогранны. Эта область теории колебаний находится в стадии разработки, в ней еще не сложилась общепринятая терминология. Нередко в публикациях используются известные термины теории нелинейных колебаний, которые недостаточно четко отражают специфику нелинейных колебаний твердого тела. Частично трудности описания связаны с тем, что твердое тело является единым монолитным объектом, положение которого в пространстве характеризуется шестью координатами, именно поэтому для него не подходят отдельные представления, сложившиеся для системы нескольких тел, имеющей столько же степеней свободы. Не претендуя на оригинальность, мы вынуждены вводить и обсуждать понятия и определения, имеющие целью более точное описание специфики нелинейных колебаний твердого тела. Одним из специфических явлений, природа которого лежит в нелинейной структуре уравнений движения, можно считать неустойчивость вынужденных колебаний твердого тела. Благодаря наличию нелинейных связей между координатами обычные вынужденные колебания твердого тела, возбуждаемые внешней периодической силой, могут оказаться неустойчивыми. Неустойчивость эта является однако специфической, для нее характерны следующие две особенности:

а) возникает неустойчивость лишь в тех случаях, когда система оказывается в условиях одного из нелинейных резонансов;

б) неустойчивость выражается в резкой перестройке режима колебаний системы, следствием которой является значительное уменьшение интенсивности вынужденных колебаний, которые предшествовали неустойчивости, и возникновение весьма интенсивных колебаний в направлении других координат системы, которые до этого могли быть в состоянии покоя.

Как видим, возникновение такой неустойчивости сопровождается изменением не только режима, но и размерности

движения твердого тела: вместо движения в направлении одной координаты возникает движение в направлении двух и более координат. Чтобы оттенить именно эту сторону движения, описываемый тип неустойчивости называют иногда пространственной неустойчивостью [51], этот термин мы будем использовать в том же смысле. Физическая причина пространственной неустойчивости вынужденных колебаний твердого тела лежит в перераспределении энергии колебаний между координатами тела. Однако перераспределение энергии колебаний может осуществляться лишь при некоторых исключительных условиях, такими условиями являются прежде всего условия существования соотношений между частотами, характерных для нелинейных резонансов. Эти условия можно считать необходимыми, однако они могут оказаться недостаточными для реализации перераспределения энергии. Механизмы, благодаря которым возникает перераспределение энергии колебаний между координатами, у твердого тела довольно разнообразны. В целом можно сказать, что эти механизмы заложены в нелинейных связях между координатами системы, которые содержатся в уравнениях движения. Возникновение пространственной неустойчивости вынужденных колебаний является по существу первым этапом довольно сложного процесса перераспределения энергии колебаний между координатами твердого тела. Как только условия неустойчивости окажутся реализованными, немедленно возникает сложный переходный колебательный процесс, сопровождаемый биениями, в результате которого система переходит от прежнего состояния — режима вынужденных колебаний в новое состояние — в режим резонансных нелинейных пространственных колебаний. Последний формируется как заключительный этап процесса перераспределения энергии между координатами, он приобретает характер стационарного режима. Говоря другими словами, система, оказавшись в условиях неустойчивости, совершает самопроизвольный переход из прежнего устойчивого состояния в новое устойчивое состояние (заметим, что и прежнее и новое устойчивые состояния являются состояниями динамического равновесия).

Изложенные выше представления сложились у нас на основании опыта исследований таких процессов как средствами математического анализа, так и средствами экспериментов. Тот же опыт позволяет высказать суждение о целесообразности проведения исследований нелинейных колебаний твердого тела в два этапа.

Первый этап исследования целесообразно посвятить изучению и установлению условий возникновения пространственной неустойчивости вынужденных колебаний. Второй этап следует направить на изучение тех пространственных резонансных колебаний, которые установились в результате перераспределения

энергии между координатами твердого тела. Такое разделение исследований на два этапа имеет серьезные основания, поскольку эти этапы существенно отличаются как содержанием получаемой информации, так и математическими средствами, необходимыми для исследования.

Действительно, установив условия возникновения пространственной неустойчивости, мы получаем возможность ответить на вопрос: как подобрать параметры системы, чтобы не допустить возникновения пространственной неустойчивости. По-видимому, для многих конкретных случаев ответ на этот вопрос исчерпывает задачу. В тех же случаях, когда этого ответа недостаточно и когда надо знать, каковы те нелинейные колебания, которые установятся после возникновения пространственной неустойчивости, придется обращаться ко второму этапу исследования.

Что касается математических средств, необходимых для анализа, отметим, что задача первого этапа математически намного проще, чем задача второго этапа. Таким образом, и эта сторона вопроса говорит в пользу разделения исследования на два этапа.

Нетрудно представить себе практическую значимость пространственной неустойчивости при вынужденных колебаниях твердого тела. Опасность (или иногда полезность) ее возникновения усиливается еще тем, что вновь возникающие колебания иногда в несколько раз превышают по амплитуде те вынужденные колебания, которые были до возникновения неустойчивости. Немалое значение имеет также то обстоятельство, что вновь возникающие колебания являются «неожиданными», их невозможно предвидеть на основании линейной теории колебаний твердого тела.

Нашей основной задачей в этой главе будет установление необходимых и достаточных условий появления пространственной неустойчивости твердого тела.