§ 5. Устойчивость периодических движений. Трехмерные и четырехмерные движения тела

Будем исследовать устойчивость частных периодических решений (4.11), (4.13), (4.15), (4.20), соответствующих трехмерным движениям тела.

Сначала остановимся на устойчивости частных решений (4.15), т. е. решения Устойчивость этих решений удобно находить не на основе уравнений (4.8), а исходя из (4.7).

Далее, обычный метод исследования устойчивости периодических решений, заключающийся в составлении уравнений в вариациях соответствующего им характеристического уравнения и в последующем применении критериев Рауса — Гурвица, приводит к следующим условиям устойчивости рассматриваемого решения:

Из первых двух условий вытекает, что для решения устойчивы верхние ветви резонансных кривых (рис. 41, 42); вторые два неравенства выражают условия устойчивости состояния откуда видно, что на условия

устойчивости состояния также влияет амплитуда колебаний в направлении другой координаты

В зависимости от параметров колебания в направлении первой координаты могут ослабить или усилить возбуждения колебаний в направлении второй координаты . С учетом величин только второго порядка малости четвертое неравенство имеет вид , т. е. совпадает с ранее найденными условиями устойчивости нулевых решений в направлении одной из координат.

Рассмотрим теперь устойчивость решений (4.11). При первые два и последние два уравнения системы (4.9) отделяются, следовательно, для периодического движения в направлении каждой из координат получаем условия устойчивости типа первых двух из (5.1), т. е. устойчивыми являются верхние ветви резонансных кривых (рис. 41, 42).

Теперь установим условия устойчивости периодических режимов, где а значения амплитуд и фаз определяются формулами (4.13) или (4.20), или (4.22). Условия устойчивости таких режимов выведем для более общего случая, считая коэффициенты уравнений (4.17) произвольными имеющими свои конкретные параметры для каждого случая действия внешних сил и резонирующих частот и . В частности, для случаев резонансов вариантов а) и б) эти коэффициенты имеют значения (4.10) и (4.18).

Рассматриваемые решения, как известно (в предположении имеют вид

при

при

(здесь параметры амплитуды и фазы соответствуют резонирующим частотам

Исходными уравнениями, на основе которых будем определять условия устойчивости, являются уравнения (4.17), где только вместо будут произвольные координаты и параметры

Далее, составив уравнения в вариациях для рассматриваемых решений, получим соответствующее им фундаментальное уравнение следующего вида:

где - корень фундаментального уравнения.

Значения коэффициентов для каждого из рассматриваемых решений соответственно равны: если то имеем

здесь

если , то будет

здесь также

Развертывая определитель (5.4) и применяя к полученному полиному четвертого порядка относительно X критерии Рауса — Гурвица, после некоторых преобразований можно представить

условия устойчивости в следующей форме:

Получить условия устойчивости в наглядной форме для решений (5.2), (5.3) в общем виде не представляется возможным, поэтому остановимся на частных случаях.

Сначала рассмотрим устойчивость решения (4.13). Если то получим Величины определяются формулами (4.13), при этом согласно (5.5) имеют место следующие соотношения между коэффициентами а:

Условия устойчивости решений (4.13) примут простой вид

Заметим, что в этом случае условия (5.8) проще получить решением в квадратурах уравнения (5.4) относительно К, чем из неравенств (5.7). Подставив в неравенства (5.8) значения по формулам (5.5), получим их в таком виде:

Первое условие всегда выполняется при а второе условие показывает, что устойчивыми могут быть только верхние ветви резонансных кривых (рис. 45, 46). Третье условие дает устойчивые участки на верхних ветвях в зависимости от соотношения параметров, входящих в него. В данном случае из (4.10) имеем следовательно, третье условие примет вид

Устойчивыми являются только те участки верхних резонансных кривых, которые в координатах проходят выше прямой занимающей положение или II (рис. 45, 46). Если то устойчива вся верхняя кривая, т. е. рассмотренный режим может быть устойчивым.

Рассмотрим устойчивость решения (4.20). Предположим, что имеет место несимметричный случай, т. е. выполняются условия тогда имеем и условия устойчивости

(5.7) иримут вид

или в исходных параметрах системы первые три неравенства представим в виде

a четвертое условие оказывается следствием первых трех условий.

Рис. 45.

Рис. 46.

Второе и третье соотношения из (5.9) могут удовлетворяться при условиях

Первое неравенство дает условия устойчивости верхней ветви резонансной кривой для колебаний в направлении координаты 0; а из второго неравенства получим, что устойчивыми могут быть

только те участки резонансных кривых, которые в координатах расположены выше прямой, определяемой уравнением

Таким же образом могут быть найдены устойчивые режимы и для других частных случаев.

Таким образом, установленные в § 4 трехмерные пространственные колебания могут быть устойчивыми; резонансные характеристики определяются кривыми, показанными на рис. 41—46.

Кратко остановимся на других случаях внешних возмущающих сил, приводящих к трехмерным и четырехмерным движениям тела в направлениях различных линейных и угловых координат.

Анализируя и остальные случаи действия внешних сил и моментов (при различных вариантах двукратных резонансов типа убедимся в том, что рассмотренные выше режимы колебаний тела возможны и для них.

Ниже приведены результаты исследования для некоторых из случаев внешних сил, например, предусмотренных в постановке задачи (§ 1):

II случай действия внешних сил:

Резонансные режимы колебательных движений тела возможны в направлении координат Движения в направлении координат происходят совершенно так же, как и в I случае (§ 4).

III-IV случаи действия внешних сил:

Здесь также возможны изученные в § 4 режимы движения, например, для колебаний тела, возникающих в направлении координат 0 и Для этих случаев осуществимы и режимы движения, где соблюдается фазовое соотношение Покажем осуществимость этого режима, например, для III случая. Пусть резонансным соотношениям удовлетворяют частоты соответствующие координатам 0 и Кроме того, положим, что имеет место равенство т. е. соответствующие им упругие связи отброшены. Тогда, поступая так же, как и во всех вышерассмотренных случаях, для определения амплитуд и фаз колебаний в направлении координат получим уравнения типа

(4.17), где коэффициентами будут

Здесь примем, что соблюдается равенство так как этому условию, как видно из (5.10), в данном случае можно удовлетворить, следовательно, при дополнительных условиях можно осуществить режим, определяемый формулами (4.22), устойчивость которого устанавливается неравенствами (5.7). Нетрудно показать, что им соответствуют устойчивые режимы; например, пусть выполняются соотношения тогда условия устойчивости (5.7) примут вид

Учитывая, что последнее условие является следствием предыдущих трех, неравенства (5.11) представим в другой форме:

Очевидно, неравенства удовлетворяются, если выполнены условия

т. е. верхние ветви резонансных кривых могут быть устойчивыми, причем для колебаний в направлении координаты 0 верхняя

часть устойчива, для колебаний в направлении координаты можно утверждать об устойчивости верхней части кривой, расположенной выше прямой

V—VI случаи действия внешних сил, т. е. внешние силы и моменты действуют одновременно в направлении двух координат:

Здесь можно также убедиться в том, что имеют место все типы режимов движений, которые рассматривались во всех предыдущих случаях. При этом следует заметить, что, как нам уже известно из исследований колебаний тела около центра масс, подобные случаи действия внешних сил имеют больше возможностей в смысле управления колебаниями тела определенным выбором параметров системы. Например, рассмотрим VI случай действия внешней силы, полагая, что резонансным соотношениям типа удовлетворяют частоты соответствующие координатам примем также, что соблюдается равенство Тогда для определения амплитуд и фаз колебаний, возбудившихся в направлении этих координат, получим уравнения типа (4.17), где изменятся только коэффициенты Последние будут:

Отсюда видно, что возможности управления системой по сравнению со случаями действия только одной внешней силы или момента увеличились. Например, при желании здесь, соответственным образом выбирая параметры системы, в частности величины можно добиться выполнения равенству или Это удобно, особенно если колебательная система является машиной резонансного типа и необходима регулировка параметров. Можно указать и на другие случаи действия возмущений, где таких возможностей будет больше по сравнению со случаями действия внешних возмущающих сил непосредственно лишь в направлении одной из координат тела.

На этом закончим рассмотрение нелинейных пространственных колебаний твердого тела в областях кратных резонансов второго рода. Таким же путем могут быть изучены и другие случая кратных резонансов рода