Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 5. Устойчивость периодических движений. Трехмерные и четырехмерные движения телаБудем исследовать устойчивость частных периодических решений (4.11), (4.13), (4.15), (4.20), соответствующих трехмерным движениям тела. Сначала остановимся на устойчивости частных решений (4.15), т. е. решения Далее, обычный метод исследования устойчивости периодических решений, заключающийся в составлении уравнений в вариациях соответствующего им характеристического уравнения и в последующем применении критериев Рауса — Гурвица, приводит к следующим условиям устойчивости рассматриваемого решения:
Из первых двух условий вытекает, что для решения устойчивости состояния В зависимости от параметров Рассмотрим теперь устойчивость решений (4.11). При Теперь установим условия устойчивости периодических режимов, где Рассматриваемые решения, как известно (в предположении при
при
(здесь параметры Исходными уравнениями, на основе которых будем определять условия устойчивости, являются уравнения (4.17), где только вместо Далее, составив уравнения в вариациях для рассматриваемых решений, получим соответствующее им фундаментальное уравнение следующего вида:
где Значения коэффициентов для каждого из рассматриваемых решений соответственно равны: если
здесь если
здесь также Развертывая определитель (5.4) и применяя к полученному полиному четвертого порядка относительно X критерии Рауса — Гурвица, после некоторых преобразований можно представить условия устойчивости в следующей форме:
Получить условия устойчивости в наглядной форме для решений (5.2), (5.3) в общем виде не представляется возможным, поэтому остановимся на частных случаях. Сначала рассмотрим устойчивость решения (4.13). Если
Условия устойчивости решений (4.13) примут простой вид
Заметим, что в этом случае условия (5.8) проще получить решением в квадратурах уравнения (5.4) относительно К, чем из неравенств (5.7). Подставив в неравенства (5.8) значения
Первое условие всегда выполняется при
Устойчивыми являются только те участки верхних резонансных кривых, которые в координатах Рассмотрим устойчивость решения (4.20). Предположим, что имеет место несимметричный случай, т. е. выполняются условия (5.7) иримут вид
или в исходных параметрах системы первые три неравенства представим в виде
a четвертое условие оказывается следствием первых трех условий.
Рис. 45.
Рис. 46. Второе и третье соотношения из (5.9) могут удовлетворяться при условиях
Первое неравенство дает условия устойчивости верхней ветви резонансной кривой для колебаний в направлении координаты 0; а из второго неравенства получим, что устойчивыми могут быть только те участки резонансных кривых, которые в координатах Таким же образом могут быть найдены устойчивые режимы и для других частных случаев. Таким образом, установленные в § 4 трехмерные пространственные колебания могут быть устойчивыми; резонансные характеристики определяются кривыми, показанными на рис. 41—46. Кратко остановимся на других случаях внешних возмущающих сил, приводящих к трехмерным и четырехмерным движениям тела в направлениях различных линейных и угловых координат. Анализируя и остальные случаи действия внешних сил и моментов (при различных вариантах двукратных резонансов типа Ниже приведены результаты исследования для некоторых из случаев внешних сил, например, предусмотренных в постановке задачи (§ 1): II случай действия внешних сил:
Резонансные режимы колебательных движений тела возможны в направлении координат III-IV случаи действия внешних сил:
Здесь также возможны изученные в § 4 режимы движения, например, для колебаний тела, возникающих в направлении координат 0 и (4.17), где коэффициентами будут
Здесь примем, что соблюдается равенство
Учитывая, что последнее условие является следствием предыдущих трех, неравенства (5.11) представим в другой форме:
Очевидно, неравенства удовлетворяются, если выполнены условия
т. е. верхние ветви резонансных кривых могут быть устойчивыми, причем для колебаний в направлении координаты 0 верхняя часть устойчива, для колебаний в направлении координаты V—VI случаи действия внешних сил, т. е. внешние силы и моменты действуют одновременно в направлении двух координат:
Здесь можно также убедиться в том, что имеют место все типы режимов движений, которые рассматривались во всех предыдущих случаях. При этом следует заметить, что, как нам уже известно из исследований колебаний тела около центра масс, подобные случаи действия внешних сил имеют больше возможностей в смысле управления колебаниями тела определенным выбором параметров системы. Например, рассмотрим VI случай действия внешней силы, полагая, что резонансным соотношениям типа
Отсюда видно, что возможности управления системой по сравнению со случаями действия только одной внешней силы или момента увеличились. Например, при желании здесь, соответственным образом выбирая параметры системы, в частности величины На этом закончим рассмотрение нелинейных пространственных колебаний твердого тела в областях кратных резонансов второго рода. Таким же путем могут быть изучены и другие случая кратных резонансов
|
1 |
Оглавление
|