Главная > Колебания твердых тел
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 5. Устойчивость периодических движений. Трехмерные и четырехмерные движения тела

Будем исследовать устойчивость частных периодических решений (4.11), (4.13), (4.15), (4.20), соответствующих трехмерным движениям тела.

Сначала остановимся на устойчивости частных решений (4.15), т. е. решения Устойчивость этих решений удобно находить не на основе уравнений (4.8), а исходя из (4.7).

Далее, обычный метод исследования устойчивости периодических решений, заключающийся в составлении уравнений в вариациях соответствующего им характеристического уравнения и в последующем применении критериев Рауса — Гурвица, приводит к следующим условиям устойчивости рассматриваемого решения:

Из первых двух условий вытекает, что для решения устойчивы верхние ветви резонансных кривых (рис. 41, 42); вторые два неравенства выражают условия устойчивости состояния откуда видно, что на условия

устойчивости состояния также влияет амплитуда колебаний в направлении другой координаты

В зависимости от параметров колебания в направлении первой координаты могут ослабить или усилить возбуждения колебаний в направлении второй координаты . С учетом величин только второго порядка малости четвертое неравенство имеет вид , т. е. совпадает с ранее найденными условиями устойчивости нулевых решений в направлении одной из координат.

Рассмотрим теперь устойчивость решений (4.11). При первые два и последние два уравнения системы (4.9) отделяются, следовательно, для периодического движения в направлении каждой из координат получаем условия устойчивости типа первых двух из (5.1), т. е. устойчивыми являются верхние ветви резонансных кривых (рис. 41, 42).

Теперь установим условия устойчивости периодических режимов, где а значения амплитуд и фаз определяются формулами (4.13) или (4.20), или (4.22). Условия устойчивости таких режимов выведем для более общего случая, считая коэффициенты уравнений (4.17) произвольными имеющими свои конкретные параметры для каждого случая действия внешних сил и резонирующих частот и . В частности, для случаев резонансов вариантов а) и б) эти коэффициенты имеют значения (4.10) и (4.18).

Рассматриваемые решения, как известно (в предположении имеют вид

при

при

(здесь параметры амплитуды и фазы соответствуют резонирующим частотам

Исходными уравнениями, на основе которых будем определять условия устойчивости, являются уравнения (4.17), где только вместо будут произвольные координаты и параметры

Далее, составив уравнения в вариациях для рассматриваемых решений, получим соответствующее им фундаментальное уравнение следующего вида:

где - корень фундаментального уравнения.

Значения коэффициентов для каждого из рассматриваемых решений соответственно равны: если то имеем

здесь

если , то будет

здесь также

Развертывая определитель (5.4) и применяя к полученному полиному четвертого порядка относительно X критерии Рауса — Гурвица, после некоторых преобразований можно представить

условия устойчивости в следующей форме:

Получить условия устойчивости в наглядной форме для решений (5.2), (5.3) в общем виде не представляется возможным, поэтому остановимся на частных случаях.

Сначала рассмотрим устойчивость решения (4.13). Если то получим Величины определяются формулами (4.13), при этом согласно (5.5) имеют место следующие соотношения между коэффициентами а:

Условия устойчивости решений (4.13) примут простой вид

Заметим, что в этом случае условия (5.8) проще получить решением в квадратурах уравнения (5.4) относительно К, чем из неравенств (5.7). Подставив в неравенства (5.8) значения по формулам (5.5), получим их в таком виде:

Первое условие всегда выполняется при а второе условие показывает, что устойчивыми могут быть только верхние ветви резонансных кривых (рис. 45, 46). Третье условие дает устойчивые участки на верхних ветвях в зависимости от соотношения параметров, входящих в него. В данном случае из (4.10) имеем следовательно, третье условие примет вид

Устойчивыми являются только те участки верхних резонансных кривых, которые в координатах проходят выше прямой занимающей положение или II (рис. 45, 46). Если то устойчива вся верхняя кривая, т. е. рассмотренный режим может быть устойчивым.

Рассмотрим устойчивость решения (4.20). Предположим, что имеет место несимметричный случай, т. е. выполняются условия тогда имеем и условия устойчивости

(5.7) иримут вид

или в исходных параметрах системы первые три неравенства представим в виде

a четвертое условие оказывается следствием первых трех условий.

Рис. 45.

Рис. 46.

Второе и третье соотношения из (5.9) могут удовлетворяться при условиях

Первое неравенство дает условия устойчивости верхней ветви резонансной кривой для колебаний в направлении координаты 0; а из второго неравенства получим, что устойчивыми могут быть

только те участки резонансных кривых, которые в координатах расположены выше прямой, определяемой уравнением

Таким же образом могут быть найдены устойчивые режимы и для других частных случаев.

Таким образом, установленные в § 4 трехмерные пространственные колебания могут быть устойчивыми; резонансные характеристики определяются кривыми, показанными на рис. 41—46.

Кратко остановимся на других случаях внешних возмущающих сил, приводящих к трехмерным и четырехмерным движениям тела в направлениях различных линейных и угловых координат.

Анализируя и остальные случаи действия внешних сил и моментов (при различных вариантах двукратных резонансов типа убедимся в том, что рассмотренные выше режимы колебаний тела возможны и для них.

Ниже приведены результаты исследования для некоторых из случаев внешних сил, например, предусмотренных в постановке задачи (§ 1):

II случай действия внешних сил:

Резонансные режимы колебательных движений тела возможны в направлении координат Движения в направлении координат происходят совершенно так же, как и в I случае (§ 4).

III-IV случаи действия внешних сил:

Здесь также возможны изученные в § 4 режимы движения, например, для колебаний тела, возникающих в направлении координат 0 и Для этих случаев осуществимы и режимы движения, где соблюдается фазовое соотношение Покажем осуществимость этого режима, например, для III случая. Пусть резонансным соотношениям удовлетворяют частоты соответствующие координатам 0 и Кроме того, положим, что имеет место равенство т. е. соответствующие им упругие связи отброшены. Тогда, поступая так же, как и во всех вышерассмотренных случаях, для определения амплитуд и фаз колебаний в направлении координат получим уравнения типа

(4.17), где коэффициентами будут

Здесь примем, что соблюдается равенство так как этому условию, как видно из (5.10), в данном случае можно удовлетворить, следовательно, при дополнительных условиях можно осуществить режим, определяемый формулами (4.22), устойчивость которого устанавливается неравенствами (5.7). Нетрудно показать, что им соответствуют устойчивые режимы; например, пусть выполняются соотношения тогда условия устойчивости (5.7) примут вид

Учитывая, что последнее условие является следствием предыдущих трех, неравенства (5.11) представим в другой форме:

Очевидно, неравенства удовлетворяются, если выполнены условия

т. е. верхние ветви резонансных кривых могут быть устойчивыми, причем для колебаний в направлении координаты 0 верхняя

часть устойчива, для колебаний в направлении координаты можно утверждать об устойчивости верхней части кривой, расположенной выше прямой

V—VI случаи действия внешних сил, т. е. внешние силы и моменты действуют одновременно в направлении двух координат:

Здесь можно также убедиться в том, что имеют место все типы режимов движений, которые рассматривались во всех предыдущих случаях. При этом следует заметить, что, как нам уже известно из исследований колебаний тела около центра масс, подобные случаи действия внешних сил имеют больше возможностей в смысле управления колебаниями тела определенным выбором параметров системы. Например, рассмотрим VI случай действия внешней силы, полагая, что резонансным соотношениям типа удовлетворяют частоты соответствующие координатам примем также, что соблюдается равенство Тогда для определения амплитуд и фаз колебаний, возбудившихся в направлении этих координат, получим уравнения типа (4.17), где изменятся только коэффициенты Последние будут:

Отсюда видно, что возможности управления системой по сравнению со случаями действия только одной внешней силы или момента увеличились. Например, при желании здесь, соответственным образом выбирая параметры системы, в частности величины можно добиться выполнения равенству или Это удобно, особенно если колебательная система является машиной резонансного типа и необходима регулировка параметров. Можно указать и на другие случаи действия возмущений, где таких возможностей будет больше по сравнению со случаями действия внешних возмущающих сил непосредственно лишь в направлении одной из координат тела.

На этом закончим рассмотрение нелинейных пространственных колебаний твердого тела в областях кратных резонансов второго рода. Таким же путем могут быть изучены и другие случая кратных резонансов рода

1
Оглавление
email@scask.ru