§ 3. Пространственная устойчивость и нелинейные колебания вертолета

Здесь рассматривается пространственная устойчивость и нелинейные пространственные колебания вертолета на земле в условиях резонансов.

1. Уравнения движения и постановка задачи.

В качестве модели вертолета, находящегося на земле, рассматривается твердое тело, опирающееся на упругие опоры (рис. 111), характеристики которых можно получить из диаграмм статического обжатия. Упругие опоры (гидропневматическая подвеска) в большинстве случаев заменяют системой пружин, прикрепленных к неподвижному основанию [143].

Для описания движения введем неподвижную систему координат и связанную систему (самолетные оси); в начальный момент времени эти системы координат совмещены с общим началом в точке О (центр тяжести вертолета). Тело имеет шесть степеней свободы: и, - линейные перемещения центра тяжести в направлении осей соответственно, - угловые перемещения тела вокруг центра тяжести, где — угол боковой качки (угол крена), - угол продольной качки (угол тангажа), — угол рыскания (самолетные углы).

В дальнейшем предполагается, что лопасти абсолютно жесткие, с жестким креплением к втулке вертолета и вертолет обладает двух плоскостной симметрией. Рассмотрение такой упрощенной модели оправдано только тем, что здесь выясняются лишь некоторые возможности появления резонансных пространственных колебаний вертолета. В дальнейшем эта модель может уточняться с учетом дополнительных факторов.

Кинетическая энергия системы имеет вид

где - масса системы, — проекции мгновенной угловой скорости на - главные центральные моменты инерции вертолета.

Упругие пружины, моделирующие гидропневматическую подвеску, имеют следующие коэффициенты жесткости, являющиеся нелинейными функциями перемещений:

Здесь - перемещение точки крепления пружины в направлении осей соответственно, - постоянные составляющие жесткостей, - коэффициенты нелинейности пружины в направлении осей

Рис. 111.

Потенциальную энергию системы можно представить в виде

где — постоянные величины, выраженные через параметры системы амортизации: координаты точек крепления пружин, коэффициенты жесткости,

например, имеющие вид

причем - координаты точек крепления пружины к вертолету в связанной системе осей, — количество пружин, моделирующих подвеску.

Линейные части уравнений движения вертолета, соответствующие потенциальной энергии П вида (3.3), взаимосвязаны. Поэтому здесь предполагается, что выполняются соотношения

которые являются условиями разделения колебаний вертолета в линейной постановке. Это предположение может быть оправдано не для всех амортизированных систем и соответствует случаю, когда центр тяжести и центр жесткости совпадают, а главные центральные оси инерции совпадают с главными центральными осями жесткости. Например, в работе [143] указано, что для некоторых специальных типов вертолетных подвесок можно получить совпадение центра тяжести и центра жесткости.

Предположим, что в системе существует возбуждение, причем возмущающая инерционная сила обусловлена дисбалансом на несущем винте [73]. Принимаем также, что аэродинамические силы играют роль сил сопротивления колебаниям вертолета. Тогда силы демпфирования вертолета учтем, считая, что силы и моменты пропорциональны скорости движения тела. Согласно этому получаем

где - известные константы.

Уравнения движения, составленные с использованием уравнений Лагранжа второго рода с учетом величин третьего порядка малости относительно координат и их производных, имеют вид [73]

(кликните для просмотра скана)

Здесь

(см. скан)

- малый параметр, — расстояние от центра инерции вертолета до центра инерции втулки, масса дисбаланса на несущем винте, — эксцентриситет (малая величина), — угловая скорость несущего винта, предполагаемая постоянной.

Система (3.7) при допускает частное решение вида

где

которому соответствуют вынужденные колебания вертолета с частотой , обусловленные дисбалансом.

Согласно этому решению возникают вынужденные колебания вертолета лишь в направлениях координат Ниже выясняются некоторые возможности возбуждения резонансных колебаний вертолета также по другим координатам. Для решения поставленной задачи будем искать приближенное решение системы (3.7) в условиях резонансов. Для этого уравнения (3.7) приведены с помощью известной замены переменных к стандартной форме:

2. Исследование устойчивости. Субгармонические колебания.

При определении условий возбуждения пространственных колебаний вертолета здесь в уравнениях (3.7) учитываются лишь нелинейные члены второго порядка относительно координат и их производных.

Резонанс типа Усредняя правые части уравнений (3.9) по времени, получим следующие уравнения первого приближения относительно переменных характеризующие колебания по координате

Условия устойчивости состояния можно представить в виде

при невыполнении которых возможно возбуждение колебаний в направлении координаты с частотой Из (3.11) получаем достаточные условия устойчивости, которые в параметрах системы

имеют вид

Резонанс типа . В этом случае получим, что в направлении координаты возбуждаются устойчивые колебания

где

откуда очевидно, что если достаточно малы, то амплитуда колебаний А может достигнуть значительной величины.

Комбинационные колебания. Исследуем комбинационные резонансы типов или

где .

Условия устойчивости решения (3.8) по отношению к координатам определяются использованием критерия Рауса — Гурвица для характеристических уравнений

где

Принимая и вводя обозначения

представим условия устойчивости для такого частного случая, когда учитываются только нелинейные инерционные члены в уравнениях движения, в виде

Можно показать, что для каждого рассматриваемого типа резонанса достаточными условиями для выполнения неравенств (3.16) является выполнение соотношений т. е.

Для этих трех случаев можно построить области на плоскости параметров где которые представлены на рис. 112, а, б, в. По физическому смыслу моментов инерции имеем Поэтому рассмотрим только ту часть плоскости (штриховые линии), в которой выполняются эти неравенства. В области при выполнении еще некоторых дополнительных условий, определяемых неравенствами (3.16), возможна потеря динамической устойчивости вертолета в условиях резонансов. Поэтому необходимо накладывать дополнительные ограничения на гидропневматическую подвеску и инерционные характеристики вертолета.

3. «Фазовые» портреты при пространственных колебаниях вертолета.

Уравнения движения с учетом нелинейных членов третьего порядка имеют вид

где При этом предполагается, что масса дисбаланса находится в плоскости

Рис. 112.

При выполнении резонансного соотношения получим следующие уравнения относительно характеризующие колебания по координате

где

Если т. е. в предположении отсутствия трения по координате уравнения (3.18) допускают первый интеграл

где С — произвольная постоянная, а переменные введены соотношениями Для случая резонанса типа если интеграл имеет вид

где

На основании первых интегралов (3.19), (3.20) строятся интегральные кривые на плоскости Переменные вводятся соотношениями

где

Далее интегралы (3.19), (3.20) представляются обобщающим соотношением

и строятся интегральные кривые в общем случае (рис. 38). При этом могут иметь место пять особых точек, соответствующих стационарным периодическим движениям вертолета. Особые точки являются центрами, точки — типа седла. Точка О может быть, в зависимости от соотношения параметров, центром или седлом.

Здесь рассмотрена лшль простейшая динамическая модель и показаны некоторые возможные резонансные колебания; эта модель может быть уточнена с учетом других фактов, и исследование резонансных колебаний можно выполнить аналогичным образом также для модели вертолета, более близкой к реальной действительности.