Главная > Колебания твердых тел
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 8. Пространственная устойчивость колебаний твердого тела в условиях комбинационных резонансов

Среди резонансных соотношений частот (4.1)-(4.4), возможных в изучаемой модельной системе, имеются такие, в которых содержатся суммы или разности частот. Соответствующие резонансы принято называть комбинационными. В соотношении частот комбинационного резонанса фигурирует не менее трех частот. С этим связана по крайней мере трехмерная форма ожидаемых пространственных колебаний, что влечет за собой относительную громоздкость анализа.

Рассмотрим некоторые типичные случаи пространственной устойчивости колебаний твердого тела в условиях комбинационных резонансов. Будем по-прежнему считать, что на твердое тело действует внешняя сила в направлении координаты

Резонанс типа Определим устойчивость вынужденных колебаний тела в условиях, когда сумма двух частот собственных колебаний тела равна частоте со внешней силы, действующей в направлении третьей координаты. Положим и. введем расстройки частот соотношениями , тогда рассматриваемое соотношение частот будет

Уравнения огибающих для резонансных координат 0 и получим в следующем виде:

где

Уравнения в системе (8.1) попарно разделены. Устойчивость решения определяется видом корней и следующего характеристического уравнения, соответствующего системе двух дифференциальных уравнений относительно переменных или

Пользуясь критериями Эрмита — Гурвица для комплексного полинома, получим уело устойчивости в виде неравенств:

В частном случае можно положить

Тогда будет

При определенных соотношениях параметров исследуемой системы второе из неравенств (8.3), (8.4) может не выполняться. Тогда состояние станет неустойчивым, возникнут колебания тела в направлении координат

Из неравенств (8.4) следует, что по-прежнему увеличение коэффициентов трения и расстройки способствует устойчивости; увеличение амплитуды колебаний наоборот, способствует неустойчивости.

В исследуемой зоне резонанса области неустойчивости могут расширяться при неравномерном распределении трения по координатам. Чтобы показать это, второе из неравенств (8.4) представим в следующем виде:

откуда следует, что при малых коэффициентах трения расстройка может стать достаточно большой, т. е. возможно расширение области неустойчивости. Это имеет место лишь при Действительно, при неравенство (8.5) примет вид

Очевидно, что увеличение коэффициента Л приводит лишь к уменьшению расстройки Следует заметить, что уменьшение произведения также приводит к ослаблению условий устойчивости. Области неустойчивости в пространстве параметров также могут быть представлены на рис. 25а, где пунктирные линии указывают на возможности расширения областей неустойчивости при введении неравномерно распределенного трения.

Условия (8.4) также позволяют построить области устойчивости в пространстве параметров независимо от коэффициентов трения и расстройки которые, очевидно, выражаются неравенствами

Если учитывать только нелинейности инерционных свойств колебательной системы, то эти неравенства можно представить

в виде

Область устойчивости построенная согласно этому неравенству, показана на рис. 256. Очевидно, что в областях, соответствующих физическому смыслу моментов инерции (на рис. 256 показана пунктирными линиями), система устойчива.

Рис. 25а.

Рис. 256.

Если же при этом принять во внимание также нелинейности упругих свойств, то области устойчивости определяются неравенством

т. е. система в зависимости от значений величин может оказаться неустойчивой. Учет только нелинейностей от упругих свойств системы приводит к соотношениям

Таким образом, из рассмотренного в настоящем случае комбинационного резонанса следует, что увеличение степени несимметричности системы относительно демпфирующих, инерционных, силовых (в частности, упругих) свойств также способствует пространственной неустойчивости.

Резонанс типа Неустойчивость колебаний в условиях этого соотношения частот имеет ту же природу, что и в предыдущем случае.

Уравнения для огибающих имеют следующий вид:

где

Условия устойчивости решения при определяются неравенствами

Области устойчивости в пространстве параметров определяются неравенствами

Если положить то эти условия примут вид

Рис. 25в.

Области устойчивости, построенные согласно неравенству (8.14), показаны на рис. 25в.

Если учитывать только нелинейности упругих свойств системы, то области устойчивости определяются неравенствами

Изучаемая система в области резонанса обладает всеми свойствами, присущими для резонанса Интересной отличительной особенностью системы в областях резонансов —К является то обстоятельство, что в некоторых случаях области устойчивости и неустойчивости в

пространстве параметров как бы меняются местами, т. е. область устойчивости для резонанса является областью неустойчивости для резонанса и наоборот. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно сравнить неравенства (8.10) и (8.15). Это свойство в несколько «деформированном» виде имеет место также при учет нелинейностей инерционных свойств (рис. 256, 25в).

Резонанс типа Неустойчивость вынужденных колебаний при соотношении частот этого типа, например, в случае характеризуется поведением огибающих, которые определяются из уравнений

где

Условия устойчивости состояния выражаются неравенствами (8.3), в которых значения коэффициентов должны быть взяты из (8.17). Области устойчивости в пространстве параметров определяются выражениями (при или

Анализ условий устойчивости показывает, что возбуждение пространственных колебаний в области резонанса аналогично случаю резонанса

В случае резонанса типа уравнения для огибающих имеют вид

Условия устойчивости состояния выражаются неравенствами

Анализ условий (8.20) показывает, что возбуждение пространственных колебаний подчиняется тем же закономерностям, что и в случае резонанса

Области устойчивости в пространстве параметров определяются неравенствами (при или )

Сравнивая неравенства (8.18) и (8.21), заключаем, что области устойчивости и неустойчивости в областях резонансов также меняются местами. Области устойчивости в пространстве совпадают для обоих случаев резонанса лишь при

Сказанное ранее о характере зависимости между значениями коэффициентов сил сопротивления движению и шириною области неустойчивости по частоте остается справедливым также для резонансов типа

1
Оглавление
email@scask.ru