§ 8. Пространственная устойчивость колебаний твердого тела в условиях комбинационных резонансов

Среди резонансных соотношений частот (4.1)-(4.4), возможных в изучаемой модельной системе, имеются такие, в которых содержатся суммы или разности частот. Соответствующие резонансы принято называть комбинационными. В соотношении частот комбинационного резонанса фигурирует не менее трех частот. С этим связана по крайней мере трехмерная форма ожидаемых пространственных колебаний, что влечет за собой относительную громоздкость анализа.

Рассмотрим некоторые типичные случаи пространственной устойчивости колебаний твердого тела в условиях комбинационных резонансов. Будем по-прежнему считать, что на твердое тело действует внешняя сила в направлении координаты

Резонанс типа Определим устойчивость вынужденных колебаний тела в условиях, когда сумма двух частот собственных колебаний тела равна частоте со внешней силы, действующей в направлении третьей координаты. Положим и. введем расстройки частот соотношениями , тогда рассматриваемое соотношение частот будет

Уравнения огибающих для резонансных координат 0 и получим в следующем виде:

где

Уравнения в системе (8.1) попарно разделены. Устойчивость решения определяется видом корней и следующего характеристического уравнения, соответствующего системе двух дифференциальных уравнений относительно переменных или

Пользуясь критериями Эрмита — Гурвица для комплексного полинома, получим уело устойчивости в виде неравенств:

В частном случае можно положить

Тогда будет

При определенных соотношениях параметров исследуемой системы второе из неравенств (8.3), (8.4) может не выполняться. Тогда состояние станет неустойчивым, возникнут колебания тела в направлении координат

Из неравенств (8.4) следует, что по-прежнему увеличение коэффициентов трения и расстройки способствует устойчивости; увеличение амплитуды колебаний наоборот, способствует неустойчивости.

В исследуемой зоне резонанса области неустойчивости могут расширяться при неравномерном распределении трения по координатам. Чтобы показать это, второе из неравенств (8.4) представим в следующем виде:

откуда следует, что при малых коэффициентах трения расстройка может стать достаточно большой, т. е. возможно расширение области неустойчивости. Это имеет место лишь при Действительно, при неравенство (8.5) примет вид

Очевидно, что увеличение коэффициента Л приводит лишь к уменьшению расстройки Следует заметить, что уменьшение произведения также приводит к ослаблению условий устойчивости. Области неустойчивости в пространстве параметров также могут быть представлены на рис. 25а, где пунктирные линии указывают на возможности расширения областей неустойчивости при введении неравномерно распределенного трения.

Условия (8.4) также позволяют построить области устойчивости в пространстве параметров независимо от коэффициентов трения и расстройки которые, очевидно, выражаются неравенствами

Если учитывать только нелинейности инерционных свойств колебательной системы, то эти неравенства можно представить

в виде

Область устойчивости построенная согласно этому неравенству, показана на рис. 256. Очевидно, что в областях, соответствующих физическому смыслу моментов инерции (на рис. 256 показана пунктирными линиями), система устойчива.

Рис. 25а.

Рис. 256.

Если же при этом принять во внимание также нелинейности упругих свойств, то области устойчивости определяются неравенством

т. е. система в зависимости от значений величин может оказаться неустойчивой. Учет только нелинейностей от упругих свойств системы приводит к соотношениям

Таким образом, из рассмотренного в настоящем случае комбинационного резонанса следует, что увеличение степени несимметричности системы относительно демпфирующих, инерционных, силовых (в частности, упругих) свойств также способствует пространственной неустойчивости.

Резонанс типа Неустойчивость колебаний в условиях этого соотношения частот имеет ту же природу, что и в предыдущем случае.

Уравнения для огибающих имеют следующий вид:

где

Условия устойчивости решения при определяются неравенствами

Области устойчивости в пространстве параметров определяются неравенствами

Если положить то эти условия примут вид

Рис. 25в.

Области устойчивости, построенные согласно неравенству (8.14), показаны на рис. 25в.

Если учитывать только нелинейности упругих свойств системы, то области устойчивости определяются неравенствами

Изучаемая система в области резонанса обладает всеми свойствами, присущими для резонанса Интересной отличительной особенностью системы в областях резонансов —К является то обстоятельство, что в некоторых случаях области устойчивости и неустойчивости в

пространстве параметров как бы меняются местами, т. е. область устойчивости для резонанса является областью неустойчивости для резонанса и наоборот. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно сравнить неравенства (8.10) и (8.15). Это свойство в несколько «деформированном» виде имеет место также при учет нелинейностей инерционных свойств (рис. 256, 25в).

Резонанс типа Неустойчивость вынужденных колебаний при соотношении частот этого типа, например, в случае характеризуется поведением огибающих, которые определяются из уравнений

где

Условия устойчивости состояния выражаются неравенствами (8.3), в которых значения коэффициентов должны быть взяты из (8.17). Области устойчивости в пространстве параметров определяются выражениями (при или

Анализ условий устойчивости показывает, что возбуждение пространственных колебаний в области резонанса аналогично случаю резонанса

В случае резонанса типа уравнения для огибающих имеют вид

Условия устойчивости состояния выражаются неравенствами

Анализ условий (8.20) показывает, что возбуждение пространственных колебаний подчиняется тем же закономерностям, что и в случае резонанса

Области устойчивости в пространстве параметров определяются неравенствами (при или )

Сравнивая неравенства (8.18) и (8.21), заключаем, что области устойчивости и неустойчивости в областях резонансов также меняются местами. Области устойчивости в пространстве совпадают для обоих случаев резонанса лишь при

Сказанное ранее о характере зависимости между значениями коэффициентов сил сопротивления движению и шириною области неустойчивости по частоте остается справедливым также для резонансов типа