ГЛАВА V. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ УСТОЙЧИВОСТИ КОЛЕБАНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА

В этой главе рассматриваются некоторые прикладные задачи пространственной устойчивости колебаний твердого тела с использованием результатов общего анализа подобных задач, изложенных в предыдущей главе.

Сначала рассматривается весьма часто встречающаяся задача о колебаниях твердого тела, которое установлено с помощью упругих опор на вибрирующем основании. Эта задача имеет специфику в описании ее движения, в связи с чем ее анализу предшествует вывод уравнений движения с использованием промежуточной подвижной системы координат. В результате решения этой задачи определены критерии возникновения нелинейных пространственных колебаний твердого тела и установлены специфические особенности влияния вибрирующего основания на пространственную неустойчивость движения тела в условиях резонансов. Далее анализируется пространственная устойчивость колебаний амортизированного объекта, где показаны возможности возбуждения пространственных нелинейных колебаний в случаях, когда задача виброзащиты на основании представлений линейной теории считается решенной. В конце главы показаны возможности и установлены условия, при которых нарушаются расчетные режимы работы одного типа вибрационной машины из-за возникновения пространственных нелинейных колебаний.

§ 1. Пространственная устойчивость колебаний твердого тела, установленного на вибрирующем основании

1. Уравнения движения и постановка задачи.

Движение твердого тела на вибрирующем основании Т, к которому тело присоединено посредством упругих элементов (рис. 26), целесообразно рассматривать как движение системы двух тел: основания Т или тела-носителя и носимого тела Для удобства изложения тело-носитель Т можно представить в виде недеформируемой оболочки, охватывающей тело в точках этой оболочки закреплены концы упругих элементов подвески тела Тело-носитель Т совершает заданное движение, в нашем

случае — периодическое движение. Это движение приводит к: деформированию упругих элементов вследствие чего возникают вынужденные колебания тела Известно, что при таком: способе возбуждения колебаний (кинематическое возбуждение) роль возмущающих сил берут на себя силы инерции тела Однако способ введения этих сил в уравнение движения тела далеко не очевиден при сложном пространственном движении тела. Он может быть установлен путем описания; движения системы взаимодействующих тел Г и

Рис. 26.

Нас интересуют случаи, когда жесткая оболочка Т вместе со всеми: точками крепления к ней. пружин совершает пространственные колебания; так, что некоторая точка О внутри оболочки, жестко с ней связанная и совпадающая с центром масс тела в статическом состоянии, совершает гармонические колебания вдоль осей неподвижной системы координат и вся оболочка совершает угловые гармонические колебания относительно точки совпадающей с началом поступательно движущейся системы координат Такое движение оболочки будет переносным движением твердого тела Т. Таким образом, переносное движение твердого тела характеризуется поступательным движением тела вместе с точкой вдоль осей и вращательным движением — углы Эйлера) относительно точки совпадающей в статическом состоянии с центром масс тела Практически, если задана форма движения точек крепления то для нахождения величин относящихся к центру оболочки, нужно решать обратную задачу: зная смещения отдельных точек оболочки, найти линейные смещения ее центра и углы поворота, используя известные кинематические соотношения. В настоящем случае считаем, что приведение переносного движения к центру оболочки выполнено;

Выведем дифференциальные уравнения движения тела для общего случая движения, т. е. не предполагая переносное движение колебательным. Системы координат приняты согласно рис. 26. - абсолютно неподвижная система координат, -переходная система координат, совершающая только переносное движение с точкой вдоль осей - система координат, совершающая полное переносное движение: поступательное вдоль осей и вращательное относительно точки определяемое углами Эйлера выбранными по способу А. Н. Крылова. -система координат, неизменно связанная с движущимся телом Оси - главные центральные оси инерции тела. Твердое тело совершает сложное движение, состоящее из переносного и относительного движений. Аналогично переносному движению, относительное движение также определяется шестью величинами в системе координат тремя линейными перемещениями центра масс тела по осям и тремя углами Эйлера (также выбранными по способу А. Н. Крылова), характеризующими вращение тела вокруг его центра масс

Уравнения движения тела в рассматриваемой задаче целесообразно получить в подвижной системе координат Для вывода уравнений движения воспользуемся следующим рассуждением. Предположим, что трехгранник вместе с точкой совершает поступательное движение с ускорением и вращение с мгновенной угловой скоростью относительно точки Обозначим скорость и ускорение центра масс тела через в переходной системе координат движущейся поступательно.

Тогда закон движения центра инерции тела будет выражаться равенством

где Н — главный вектор внешних сил, М—масса тела, -ускорение переносного движения. Проектируя векторное равенство (1.1) на подвижные оси получим три уравнения поступательного движения тела:

Здесь - проекции вектора скорости на подвижные оси — проекции угловой скорости

трехгранника От) на оси определяемые известными формулами (1.1.6) через углы Эйлера характеризующие переносное движение. - проекции главного вектора Н внешних сил на оси (включая силы реакций упругих пружин и силы сопротивлений абсолютному и относительному движениям тела), - проекции главного вектора сил инерции твердого тела при его переносном поступательном движении с ускорением .

Уравнение, выражающее изменение кинетического момента тела относительно точки имеет вид

где — вектор кинетического момента твердого тела относительно точки — главный момент внешних сил относительно точки — радиус-вектор центра масс твердого тела, проведенный из точки Проектируя обе части векторного равенства (1.3) на подвижные оси получим обобщенные уравнения Эйлера следующего вида:

где - проекции на оси — проекции главного момента внешних сил относительно точки на оси (включая моменты сил реакций упругих пружин и сил сопротивлений абсолютному и относительному движениям тела), на те же оси главного момента сил инерции от переносного поступательного перемещения тела с ускорением

Величины а согласно (1.2.9), (1.2.10) определяются следующими формулами:

где направляющие косинусы учитывают лишь относительное движение тела и представляются выражениями таблицы 1.5 (гл. 1, § 1).

Здесь - проекции кинетического момента тела относительно центра масс О, на оси имеют вид

- проекции абсолютной угловой скорости тела на оси определяемые выражениями

где — проекции угловой скорости движения тела на оси в относительном движении, они выражаются соотношениями вида (1.1.6); направляющие косинусы по-прежнему учитывают лишь относительное движение тела.

Силы и моменты реакций упругих элементов обусловлены лишь относительным движением тела. Для системы упругих элементов, расположенных согласно схеме, представленной на рис. 9, 10, выражения упругих сил и моментов этих сил даны в приложениях 1, 2.

Силы сопротивлений движению тела учитываем следующим образом

— силы внутреннего трения, зависящие от относительных смещений и относительных скоростей движения тела (например, силы внутреннего трения в материале связей и т. п.), учтем так же, как и в предыдущих главах, пользуясь предположением о том, что силы и моменты этих сил пропорциональны скорости относительного движения тела, т. е.

— силы внешнего трения, зависящие от абсолютных скоростей движения тела (например, силы трения, возникающие при контакте вращающихся частей с неподвижными деталями, а также силы сопротивления окружающей среды и т. д.), введем предположением, что силы и моменты этих сил пропорциональны перзой степени абсолютных скоростей движения тела:

где - проекции скорости центра масс тела в неподвижной системе координат определяемые соотношениями

Здесь направляющие косинусы учитывают лишь переносное движение тела. Коэффициенты сил сопротивления считаются заданными. В уравнения движения должны войти проекции вышеупомянутых сил и моментов на подвижные оси

Следуя изложенной схеме, можно составить уравнения движения для каждого конкретного случая сложного движения твердого тела.

Рассмотрим два типичных частных случая колебаний твердого тела, установленного на вибрирующем основании.

Для удобства изложения используем те же предположения, которые были приняты при выводе уравнений движения тела в случае неподвижного основания. Поэтому многие обозначения, введенные выше, сохраняют свое прежнее значение.

а) Основание Т совершает периодические колебания в направлении неподвижной оси по закону (Здесь — заданные величины). Ускорение центра тяжести тела при переносном поступательном движении равно — и направлено по оси проекции угловой скорости основания Т будут Тогда, пользуясь выражениями (1.2), (1.4) — (1.11) и удерживая в них нелинейные лены до второго порядка включительно относительно координат и их производных, уравнения движения тела можно представить в следующем виде:

где

Выражения для величин и функций те же, что в уравнениях (2.3.11).

В уравнениях движения сохранены лишь линейные члены, хщдсывающие силы трения, причем обозначено

где

б) Основание совершает периодические колебания вокруг оси по закону

Тогда, учитывая, что так же, как и в предыдущем случае, получим следующие уравнения движения:

где

В уравнениях (1.14) также учтены лишь линейные составляющие сил трения и использованы обозначения (1.13).

Как видим, кинематической возбуждение колебаний, осуществляемое путем перемещения основания (т. е. тела-носителя Т) по гармоническому закону, привело в обоих случаях к появлению в уравнениях колебаний тела периодических сил двух типов. Первый тип сил можно было определить заранее — это силы инерции вида действующие в обоих случаях по направлению заданного движения основания.

Силы второго типа тоже имеют инерционную природу, но формируются более сложным образом. Эти силы происходят от нелинейных связей между координатами твердого тела и действуют они в направлениях, не совпадающих с направлением перемещения основания. Так, в первом случае основание перемещается в направлении оси , сила пеового типа тоже

действует в направлении оси . Но кроме нее возникли еще две обобщенные силы—момент действующий в направлении координаты 0, и момент действующий в направлении координаты Во втором случае кроме обобщенной силы первого типа—момента возникли четыре обобщенные силы второго типа где действующие соответственно в направлениях осей

При системы уравнений (1.12), (1.14) соответственно допускают следующие частные решения:

Эти решения описывают в линейном приближении вынужденные колебания тела которые вызваны вибрацией основания Т.

Нашей целью будет изучение пространственной устойчивости вынужденных колебаний твердого тела т. е. частных решений (1.16), (1.17) уравнений (1.12), (1.14), и выявление форм нелинейных колебаний твердого тела, которые возникают в случаях, когда эти решения окажутся неустойчивыми.

Основное внимание уделим тем особенностям задачи, которые связаны с наличием вибрирующего основания. Поскольку в предыдущей главе были детально проанализированы многие случаи пространственной устойчивости колебаний твердого тела в условиях различных нелинейных резонансов, здесь мы ограничимся только рассмотрением резонансов типа