§ 7. О взаимной зависимости угловых и поступательных колебаний твердого тела

При изучении движения твердого тела иногда используется предположение о независимости движения центра массы (изменение линейных координат от движения тела по отношению к центру массы (изменение угловых координат ). Такое предположение нередко оказывается полезным, поскольку с его помощью упрощается анализ движения. В рассматриваемой нами модельной системе линейные и угловые координаты связаны между собой, поэтому в общем случае разделение движения

на поступательное и вращательное невозможно. В предыдущем разделе было показано, что возникновение резонансных колебаний в направлении линейных координат возможно при воздействии на тело периодической силы в направлении угловой координаты; в такой же степени возможно возникновение резонансных колебаний в направлении угловых координат при воздействии силы в направлении линейной координаты.

Однако более детальный анализ позволяет выявить случаи, когда зависимости между угловыми и линейными координатами становятся несущественными, и потому разделение движения на поступательное и вращательное оказывается возможным.

В значительной степени возможности разделения движений зависят от структуры нелинейных сил потенциального поля. Рассмотрим примеры возможного разделения движений.

В качестве первого примера возьмем систему упругих элементов (рис. 9), в которой выбраны равными друг другу жесткости элементов, расположенных кососимметрично, т. е.

Тогда отличными от нуля параметрами будут

Следовательно, возможно возбуждение пространственных колебаний тела только для тех случаев действия внешних сил, когда последние непосредственно приложены в направлении угловых координат При этом условия резонансного возбуждения колебаний тела в направлении линейных и угловых координат оказываются не связанными между собой, так как соответствующие «связывающие» произведения равны нулю, т. е.

Как видим, выбранные соотношения между коэффициентами жесткости ограничивают возможности возбуждения пространственных колебаний, в частности, не могут возникнуть угловые колебания тела за счет его поступательных колебаний; не могут возникнуть кратные резонансы, соответствующие линейным и угловым координатам.

В качестве второго примера рассмотрим случай, когда коэффициенты жесткостей всех пружин равны между собой, т. е. Кроме того, предположим, что Тогда отличными от нуля параметрами будут Следовательно, согласно (5.14) области

устойчивости в пространстве параметров определяются неравенствами

или более подробно

где

В этом случае остаются возможности возбуждения пространственных колебаний тела только для угловых координат и лишь в случае - кратных резонансов. Принятые условия симметрии относительно упругих характеристик системы исключают возможности появления взаимосвязанных поступательных и угловых движений тела.

В третьем примере положим, что нелинейные члены в уравнениях движения обусловлены только инерционными свойствами, а потенциальные силы линейны. Тогда и области устойчивости определяются неравенствами

Первое неравенство определяет область устойчивости, полученную ранее при изучении возможностей возбуждения резонансных колебаний в направлении координат (для случая действия внешней периодической силы в направлении координаты Соответствующая область устойчивости представлена на рис. 22. Второе неравенство относится к случаю действия внешней силы в направлении координаты 0, третье — в направлении координаты Для двух последних случаев области устойчивости в пространстве параметров и с показаны на рис. 23, 24. Первое и второе неравенства при в областях, соответствующих физическому смыслу моментов инерции, всегда удовлетворяются (эти области показаны пунктирными линиями). Если то удовлетворяются все неравенства, т. е. когда эллипсоид инерции становится сферой, тогда возбуждение пространственных колебаний за счет нелинейных инерционных членов в уравнениях движения невозможно.

Рассмотренные примеры показывают, что возможности разделения поступательного и вращательного движения твердого тела при пространственных колебаниях увеличиваются по мере того, как упругие свойства системы становятся более симметричными относительно главных центральных осей инерции твердого тела.

Рис. 23.

Рис. 24.

При этом надо заметить, что упомянутые свойства симметрии отличаются от требований, которые используются для разделения переменных в линейных уравнениях колебаний твердого тела.