§ 1. Постановка задачи. Периодические режимы пространственных колебаний в области субгармонического резонанса

Рассмотрим пространственные колебания твердого тела в потенциальном поле упругих сил как системы с шестью степенями свободы.

Уравнения движения, как известно (2.3.11), имеют вид

где

Будем искать периодические решения системы дифференциальных уравнений (1.1) в областях резонансов рода при различных значениях внешних сил и моментов

Очевидно, что рассматривать возможные лучаи действия возмущающих периодических сил и моментов очень громоздко, кроме того, в этом для выяснения существа исследуемого вопроса и нет особого смысла. Поэтому рассмотрим несколько характерных случаев и на основе их результатов сделаем более общие выводы, касающиеся и остальных случаев.

Для этого выбраны следующие случаи действия внешних сил и моментов:

Для решения поставленной задачи воспользуемся приближенным способом построения периодических и почти периодических решений квазилинейных систем, изложенных в § 2 четвертой главы. Упомянутый способ основан на асимптотических методах (с применением операции усреднения), разработанных в трудах Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, И. Г. Малкина [22, 23, 131, 146] и других авторов.

При этом подробно будем рассматривать каждый из случаев резонансов рода следующего вида:

Для принятых типов резонансов установлена возможность появления нелинейных пространственных колебаний твердого тела. Приступим к исследованию каждого из резонансных случаев (1.3). Сначала рассмотрим область субгармонического резонанса порядка т. е. резонанс типа Пусть внешние силы имеют значения

т. е. возмущающая сила приложена только в направлении координаты . Для определенности также положим, что выполняется резонансное соотношение соответствующее координате . Тогда уравнения движения (1.1) могут быть представлены в виде

где

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Последние десять уравнений относительно попарно допускаю: интегралы вида

где

Принимая во внимание формулы (1.8), для определения переменных получаем

Полагая получим уравнения для определения величин амплитуд при стационарных колебаниях

или в тригонометрической форме

где

Получили известные нам из § 1 главы VI уравнения (6.1.11), но только с другими постоянными коэффициентами. Решениями будут

Резонансные кривые имеют вид, как показано на рис. 30, 31 соответственно для

В частности, для конкретного случая схемы расположения опор согласно рис. 9 соотношения (1.12) в исходных параметрах системы имеют вид

Здесь

- характерный размер системы упругих опор.

Согласно выражению (1.13) резонансная кривая имеет вид, как показано на рис. 30 (принимая во внимание, что

Найденным значениям амплитуд соответствует периодическое решение периода

Остановимся на исследовании устойчивости полученного решения. Учитывая соотношения (1.8), легко заключить, что исследование устойчивости решения (1.14) приводит к определению его устойчивости относительно переменной на основе уравнений (1.9). Для этого уравнения системы (1.9) представим в

тригонометрической форме вида

Составив уравнения в вариациях для рассматриваемого решения получим соответствующее им харак еристическое уравнение следующего вида:

где

Условия устойчивости решения заключающиеся в том, что корни а уравнения (1.16) должны быть отрицательны, по Раусу—Гурвицу запишутся:

и окончательно

Получили такие же условия устойчивости, которые имелись для аналогичных задач в § 1 главы VI. Следовательно, устойчивыми будут верхние ветви кривых и движение будет происходить так, как указано стрелками на рис. 30, 31. К таким же результатам придем и для любой другой частоты удовлетворяющей принятому резонансному соотношению. На основе подробного анализа всевозможных случаев действия внешних сил или моментов для каждой частоты удовлетворяющей резонансному соотношению — убедимся в том, что возбудившиеся колебания в направлении всех координат подчиняются закономерностям, полученным выше. Здесь имеется в виду, что условия возбуждения колебаний удовлетворены каждый раз только для одной координаты и в направлении последней нет действующих внешних сил и моментов.

Из вышеизложенного также следует, что за счет периодического движения в направлении угловой координаты тела возможно его поступательное движение и наоборот.