§ 2. Интегральные кривые и формы пространственных движений тела

Приступим к построению интегральных кривых на основе уравнений (1.15). Уравнения (1.15) при допускают первый интеграл, не зависящий от времени Введем - обозначение тогда Умножив обе части второго равенства (1.15) на и разделив полученное соотношение на первое равенство системы (1.15), имеем

Уравнение (2.1) является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Рис. 35.

Рис. 36.

Решая уравнение (2.1), получим первый интеграл системы вида

где С — произвольная постоянная.

Далее получим

или

причем

Пользуясь выражениями (2.3) или (2.4), построим интегральные кривые в плоскости при самых общих предположениях относительно параметров изучаемой системы. Рассмотрим сначала несколько частных случаев.

а) Пусть Тогда уравнения (2.3) или (2.4) представляют собой семейство линий Кассини, в частности при лемнискату Бернулли (рис. 35). Особые точки

соответствуют стационарным периодическим решениям системы, причем особая точка

О является седлом, а особые точки —центрами.

Рис. 37.

Рис. 38.

б) Положим . В этом случае уравнение (2.3) примет вид

Если то имеем семейство замкнутых кривых, а особая точка является центром (рис. 36). На рис. 37 показаны кривые, построенные при Здесь особая точка О является седлом, а особые точки центрами.

Построим интегральные кривые в общем случав. Если выполняется неравенство то интегральные кривые принимают форму, показанную на рис. 38. При этом имеем пять особых точек:

Особые точки являются центрами, а особые точки — типа седла. Тип особой точки О зависит от соотношения параметров системы. Если , то через точку О проходит интегральная кривая 1 (пунктирная кривая) и точка О является седлом, при этих условиях кривая 2 не имеет места (также отсутствуют точки ). В случае точка О является центром. Если , то имеем картину, обратную описанной (рис. 39).

Рис. 39.

Если особые точки являются центрами, а особые точки — седлом, то точка О по-прежнему может быть либо седлом, либо центром в зависимости от выполнения неравенств (при этом или Определение направлений движения (обхода) производится на основании уравнений (1.15). Отсюда следует, что направление движения зависит от знака при движение по интегральным кривым происходит по часовой стрелке, а при против часовой стрелки (на рис. 35—39 показан первый случай).

Следует отметить, что в ряде случаев полученные картины движения тела существенно изменятся при Однако построение интегральных кривых без учета сил сопротивления движению тела кроме теоретического интереса представляет также практический интерес, например, они позволяют в какой-то степени предвидеть и более эффективно построить пространственную картину движения тела при указывают на место устойчивых и неустойчивых периодических стационарных решений и т. д.

Построение интегральных кривых с учетом сил сопротивлений движению тела можно производить численно на основе уравнений вида (1.9) или (1.15).

Численный пример. Рассматривается конкретная механическая модель (рис. 9). Пусть внешние возмущающие силы и моменты равны и выполняется резонансное соотношение

Уравнения для огибающих будут

Здесь вещественные переменные введены соотношениями

Принимаем следующие значения параметров колебательной системы:

Тогда численные значения основных параметров, определяющих коэффициенты уравнений (2.6) для огибающих, будут

Особые точки, соответствующие стационарным решениям,

определяются из уравнений

откуда получим особые точки:

Исследование характера интегральных кривых в окрестности полученных особых точек показывает, что особая точка является неустойчивым седлом, а особые точки и -устойчивыми фокусами.

Рис. 40.

Построение интегральных кривых в плоскости методом изоклин дает некоторое представление о переходных процессах при возбуждении пространственных колебаний твердого тела (рис. 40).