Главная > Колебания твердых тел
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 2. Интегральные кривые и формы пространственных движений тела

Приступим к построению интегральных кривых на основе уравнений (1.15). Уравнения (1.15) при допускают первый интеграл, не зависящий от времени Введем - обозначение тогда Умножив обе части второго равенства (1.15) на и разделив полученное соотношение на первое равенство системы (1.15), имеем

Уравнение (2.1) является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Рис. 35.

Рис. 36.

Решая уравнение (2.1), получим первый интеграл системы вида

где С — произвольная постоянная.

Далее получим

или

причем

Пользуясь выражениями (2.3) или (2.4), построим интегральные кривые в плоскости при самых общих предположениях относительно параметров изучаемой системы. Рассмотрим сначала несколько частных случаев.

а) Пусть Тогда уравнения (2.3) или (2.4) представляют собой семейство линий Кассини, в частности при лемнискату Бернулли (рис. 35). Особые точки

соответствуют стационарным периодическим решениям системы, причем особая точка

О является седлом, а особые точки —центрами.

Рис. 37.

Рис. 38.

б) Положим . В этом случае уравнение (2.3) примет вид

Если то имеем семейство замкнутых кривых, а особая точка является центром (рис. 36). На рис. 37 показаны кривые, построенные при Здесь особая точка О является седлом, а особые точки центрами.

Построим интегральные кривые в общем случав. Если выполняется неравенство то интегральные кривые принимают форму, показанную на рис. 38. При этом имеем пять особых точек:

Особые точки являются центрами, а особые точки — типа седла. Тип особой точки О зависит от соотношения параметров системы. Если , то через точку О проходит интегральная кривая 1 (пунктирная кривая) и точка О является седлом, при этих условиях кривая 2 не имеет места (также отсутствуют точки ). В случае точка О является центром. Если , то имеем картину, обратную описанной (рис. 39).

Рис. 39.

Если особые точки являются центрами, а особые точки — седлом, то точка О по-прежнему может быть либо седлом, либо центром в зависимости от выполнения неравенств (при этом или Определение направлений движения (обхода) производится на основании уравнений (1.15). Отсюда следует, что направление движения зависит от знака при движение по интегральным кривым происходит по часовой стрелке, а при против часовой стрелки (на рис. 35—39 показан первый случай).

Следует отметить, что в ряде случаев полученные картины движения тела существенно изменятся при Однако построение интегральных кривых без учета сил сопротивления движению тела кроме теоретического интереса представляет также практический интерес, например, они позволяют в какой-то степени предвидеть и более эффективно построить пространственную картину движения тела при указывают на место устойчивых и неустойчивых периодических стационарных решений и т. д.

Построение интегральных кривых с учетом сил сопротивлений движению тела можно производить численно на основе уравнений вида (1.9) или (1.15).

Численный пример. Рассматривается конкретная механическая модель (рис. 9). Пусть внешние возмущающие силы и моменты равны и выполняется резонансное соотношение

Уравнения для огибающих будут

Здесь вещественные переменные введены соотношениями

Принимаем следующие значения параметров колебательной системы:

Тогда численные значения основных параметров, определяющих коэффициенты уравнений (2.6) для огибающих, будут

Особые точки, соответствующие стационарным решениям,

определяются из уравнений

откуда получим особые точки:

Исследование характера интегральных кривых в окрестности полученных особых точек показывает, что особая точка является неустойчивым седлом, а особые точки и -устойчивыми фокусами.

Рис. 40.

Построение интегральных кривых в плоскости методом изоклин дает некоторое представление о переходных процессах при возбуждении пространственных колебаний твердого тела (рис. 40).

1
Оглавление
email@scask.ru