§ 3. Построение приближенного решения и исследование устойчивости

Ответ на поставленный вопрос о пространственной устойчивости движения изучаемой системы будем искать путем анализа приближенных решений уравнений (1.7), (1.8). Сначала рассмотрим систему уравнений (1.7). Имея в виду применение метода усреднения [23, 24, 131], преобразуем систему уравнений (1.7) к стандартной форме с помощью следующих формул замены переменных:

Здесь вещественные величины являются частотами собственных колебаний линейной части системы (1.7),

именно,

Для того чтобы величины были вещественны, необходимо и достаточно выполнение неравенств (2.4), (2.5). Считается, что эти условия выполнены. Такое предположение соответствует известному факту, что основное стационарное движение, отвечающее решению уравнений (1.7) в линейной постановке, устойчиво.

Коэффициенты представляют отношения амплитуд для линейной части однородных уравнений, получаемых из (1.7); они имеют следующие значения:

Уравнения (1.7), преобразованные с помощью замены (3.1), принимают вид

(см. скан)

где обозначено

В функциях переменные и их производные должны быть заменены соответствующими выражениями (3.1).

Согласно результатам предыдущих глав в изучаемой системе пространственную неустойчивость следует ожидать в условиях резонансов. Поэтому целесообразно изучить возможность возбуждения пространственных колебаний твердого тела при наличии резонансных соотношений между частотами и .

Резонансные условия для нелинейной системы (1.7) определяются соотношениями вида

где — целые положительные или отрицательные числа, для которых

причем в каждом из соотношений (3.4) по крайней мере одно из чисел отлично от нуля. Соотношения (3.4) могут выполняться точно или приближенно.

В последнем случае предположим, что независимым резонансным соотношениям (3.4) точно удовлетворяют не частоты свободных колебаний порождающей системы, а некоторые другие величины близкие к ним, т. е.

Зависимость между соответствующими величинами введем равенствами

где - малый параметр и - расстройки частот.

Приближенные решения системы (3.3) будем искать в следующей форме:

Величины со подлежат определению, они предполагаются близкими к соответствующим значениям т. е.

Например, если соотношениям (3.4) удовлетворяют только некоторые из собственных частот то а остальные

Для установления условий пространственной устойчивости движения достаточно определить основные части решений (3.6), т. е. величины Последнее удобно определить с помощью метода, предложенного в работе [131], согласно которому находятся из уравнений, получаемых из (3.3) после подстановки в них выражений (3.6) и последующего усреднения по явно содержащемуся времени

Если величины не удовлетворяют соотношениям (3.4), т. е. все частоты являются нерезонансными, то усредненные вышеуказанным образом уравнения (3.3) примут вид

где

Интересующему нас частному решению (1.10) соответствует частное решение системы (3.7) вида

Нетрудно убедиться в том, что это решение будет устойчивым. Непосредственно из уравнений (3.7) видно, что состояния будут устойчивыми, поскольку Состояния также будут устойчивыми, так как величины отрицательны. В последнем можно убедиться путем следующих рассуждений.

Предположим, что выполнены неравенства Тогда на основании формул (3.2) устанавливаем, что значения величин и расположены между значениями величин Например, при подчиняются следующему неравенству: Тогда из первых двух выражений (3.8) можно установить, что и отрицательны. Теперь предположим, что Тогда либо либо Таким образом, состояния или неустойчивы. Однако можно убедиться в том, что здесь имеет место известный случай нарушения гироскопической устойчивости при добавлении диссипативных сил. Поэтому этот случай нас не интересует, следовательно, примем, что Последние не могут иметь разных знаков, так как должны удовлетворять неравенству (2.4). Таким же образом убедимся в отрицательности выражений при условиях

Итак, решение (1.10) в нерезонансном случае оказалось устойчивым. Согласно этому решению колебания происходят лишь в направлении той главной: координаты, по отношению к которой действует внешняя периодическая сила. Такая форма движения твердого тела соответствует общеизвестным представлениям линейной теории и поэтому особого интереса не представляет. Нас же будут интересовать те «особые ситуации», которые не могут иметь место по представлениям линейной теории, т. е. возможности возбуждения пространственных колебаний твердого тела. Последние в изучаемой системе также могут проявляться, как будет показано ниже, только лишь в случае удовлетворения некоторых резонансных соотношений вида (3.4). Поэтому поставим целью как определение таких резонансных соотношений, так и определение самих условий возбуждения пространственных колебаний тела в рассматриваемой гироскопической системе.

В дальнейшем предположим, что частота является нерезонансной. Такое предположение, как было указано в главе IV, не нарушает общности поставленной задачи, так как мы изучаем возможности возбуждения колебаний тела в направлении координат при вынужденных колебаниях в направлении координаты с частотой внешней силы со.

Однако можно показать, что полученные результаты могут быть распространены и на тот случай, когда в направлении координаты, по отношению к которой действует внешняя сила, совершаются резонансные колебания с частотой внешней силы

или субгармонические колебания. С целью установления возможных резонансных ситуаций в изучаемой системе проанализируем уравнения (3.3) при выполнении резонансных соотношений вида (3.4).

В результате такого анализа получим следующие соотношения между собственными частотами и частотой внешней силы приводящие к возникновению резонансных состояний:

Рассмотрим подробно наиболее характерные случаи из этих резонансных соотношений, т. е. резонансы типа приводящие к возбуждению периодических и почти периодических пространственных колебаний твердого тела.