§ 4. Периодические колебания вращающихся твердых тел. Взаимодействие поступательных и угловых движений тела

Рассмотрим возбуждение субгармонических колебаний твердого тела.

Пусть удовлетворяется резонансное соотношение вида в частности, . Чтобы выявить поведение системы в окрестности резонансного соотношения, полагаем

остальные

Приближенное решение системы (3.3) будем искать в форме (3.6) и после усреднения по времени получим уравнения первого приближения в следующем виде:

Здесь выражения (3.8)),

Система (4.2) допускает частное решение вида

Очевидно, что это решение соответствует частному решению (1.10), устойчивость которого нас интересует.

Неустойчивости частного решения (4.3) соответствует возбуждение пространственных колебаний тела, которые будут накладываться на стационарное движение системы Чтобы определить условия возбуждения таких колебаний, обратимся к анализу устойчивости частных решений системы (4.2). Аналогично нерезонансному случаю убедимся в том, что состояния будут устойчивыми, поскольку

Чтобы выяснить устойчивость состояния преобразуем четвертое и пятое уравнения системы (4.2) с помощью замены переменных

Преобразованные уравнения оказываются линейными и имеют следующий вид:

Для устойчивости частных решений (соответствующих значению необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства

или, выражая через параметры системы,

Проанализируем условия (4.5), (4.6) в зависимости от параметров изучаемой системы. Первое условие всегда выполняется, так как (см. § 3). Второе условие, очевидно, может и не выполняться при определенных значениях параметров системы

Тогда исследуемое решение (4.3) будет неустойчивым по отношению к переменным следовательно, в направлении последних возникнут колебания тела с частотой

Из условий (4.6) также следует, что коэффициенты выражающие сопротивление движению тела (внутреннее и внешнее), и расстройки частот являются факторами, способствующими устойчивости; величины зависящие от. других параметров колебательной системы, наоборот способствуют неустойчивости.

Остановимся теперь на некоторых частных случаях неравенств (4.6), которые позволяют выявить особенности такого возбуждения колебаний для систем с вращающимися частями.

Условия устойчивости решений (4.3) при отсутствии вращающихся частей могут быть получены из (4.6), если положить Например, при условия устойчивости имеют вид

где

При невыполнении этих условий колебания возбуждаются в направлении координаты 0. Сравнивая условия (4.6) и (4.7), заключаем, что в зависимости от определенного соотношения параметров колебательной системы вращающиеся части могут оказывать стабилизирующее или дестабилизирующее действие.

Рассмотрим несколько примеров, предполагая, что твердое тело расположено на упругих опорах согласно рис. 9.

а) Если то и условия (4.7) выполняются. Условия же (4.6) могут и не выполняться. Действительно, для этого случая имеем

где .

б) Принимая получим

Следовательно, система с вращающимися частями также устойчива. Системы с вращающимися частями имеют больше возможностей параметрического управления с целью стабилизации колебаний твердого тела или же с целью возбуждения его устойчивых пространственных колебаний. В последнем случае устойчивые возбудившиеся колебания могут быть использованы в качестве рабочего режима некоторых гироскопических приборов.

По выражению можно установить, что пространственная неустойчивость, обусловленная вращением основания Т с угловой скоростью может быть усилена или ослаблена гироскопическим действием ротора вращающегося с угловой скоростью Р.

Например, пусть имеют место соотношения тогда

Очевидно, что если оба слагаемых одинакового знака, то имеет место усиление условий устойчивости и наоборот.

Пусть нелинейные члены в уравнениях движения обусловлены только инерционными членами (потенциальная энергия системы мала по сравнению с ее кинетической энергией); для простоты также полагаем

Тогда получим

Если же то будем иметь

причем при вышепринятых допущениях условия (4.7) удовлетворяются, так как система без вращающихся частей устойчива для случая

Таким образом, из (4.8), (4.9) следует, что, если нелинейные члены в уравнениях движения обусловлены только инерционными членами, то системы с вращающимися частями менее устойчивы, чем системы без вращающихся частей, т. е. вращающиеся части оказывают дестабилизирующее действие на колебания системы. При этот вывод сохраняется только для случая, когда Если же система с вращающимися частями также устойчива. На этом закончим анализ условий устойчивости (4.6) для принятого резонансного соотношения

Также решается и случай, когда удовлетворяется резонансное соотношение

Условия устойчивости решения вида (4.3) будут

где

При невыполнении этих условий возбуждаются колебания в направлении координат с частотой На условия (4.10) оказывает влияние только вращение твердого тела с угловой скоростью По выражению видно, что увеличение угловой скорости основания Т способствует возбуждению колебаний тела в направлении координат Следовательно, вращение

основания способствует интенсивному взаимодействию угловых движений (колебательных) твердого тела относительно центра масс и поступательного движения тела вместе с его центром масс.

Следует также заметить, что как внутреннее, так и внешнее трение способствуют пространственной устойчивости, в то время как в линейной постановке внутреннее трение способствует неустойчивости движения центра масс тела (§ 2).

Рассмотрим возбуждение субгармонических колебаний тела, установленного на вибрирующем и вращающемся основании.

Как было указано выше, для определения условий пространственной устойчивости движения тела, установленного на вибрирующем основании, нужно исследовать устойчивость решения (1.11) на основе нелинейных уравнений (1.8). С этой целью для принятого резонанса, определяемого соотношением (4.1), выполним такие же выкладки, как и в предыдущем случае, но уже применительно к уравнениям (1.8). Ниже представлены окончательные условия устойчивости решения (1.11) относительно переменных в виде следующих неравенств:

где

Здесь величина пропорциональна квадрату частоты колебаний основания Т и только этим отличается от в аналогичных неравенствах (4.6). Такое влияние вибрирующего основания на условия устойчивости очевидно и поэтому в дальнейшем особо не будет оговариваться. В условиях

устойчивости (4.11) подчеркнуты те члены, которые появились за счет колебательного движения основания Т. Дважды подчеркнутый член обусловлен лишь одновременным вращением и колебанием основания.

Анализируя неравенства (4.11), можно заключить, что вибрирующее основание в зависимости от соотношения параметров рассматриваемой системы может способствовать как ее неустойчивости, так и устойчивости. Например, при и если, кроме того, не учитывать нелинейные члены от упругих свойств системы, то получим

Отсюда следует, если последние два члена положительны, то вибрирующее основание способствует неустойчивости и наоборот. При и вибрирующее основание не оказывает влияния на условия пространственной устойчивости. но то на условия пространственной устойчивости не оказывают влияние одновременное вращение и колебания основания.

Если учитывать в неравенствах (4.11) также члены, обусловленные упругими свойствами системы, то влияние вибрирующего основания на устойчивость оказывается более сложным.

Если же выполнено резонансное соотношение то получим следующие условия устойчивости решения (1.11) относительно переменных

где

Отсюда следует, что в зависимости от того, одного или противоположного знака являются слагаемые, в выражении вибрирующее основание может способствовать неустойчивости или

устойчивости. При вибрирующее основание не влияет на условия устойчивости, причем на устойчивость поступательного движения тела влияют лишь только одновременное вращение и колебания основания Из неравенств (4.13) также следует, что неравномерное вращение основания при некоторых соотношениях параметров системы может явиться одной из причин сильного взаимодействия колебательных движений центра масс твердого тела и относительно его центра масс.