ГЛАВА III. ЛИНЕЙНЫЕ И БЛИЗКИЕ К НИМ КОЛЕБАНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Анализ колебаний твердого тела на основании линеаризованных уравнений (2.2.8) или (2.2.18) не представляет трудностей, поскольку эти уравнения являются частным случаем хорошо изученных уравнений движения линейной колебательной системы с степенями свободы. Теория колебаний линейной системы с степенями свободы разработана весьма детально, ее результаты непосредственно приложимы для описания колебаний твердого тела.

§ 1. Собственные колебания твердого тела

Собственные колебания твердого тела описываются уравнением

которое следует из уравнения (2.2.18), если в нем исключить из рассмотрения силы сопротивления движению и внешние силы

В скалярной форме это уравнение эквивалентно системе уравнений:

где — символ Кронекера:

Решение системы уравнений (1.2) отыскивается в виде гармонических функций

в которых подлежат определению. Подставляя решение (1.3) в систему уравнений (1.2), получим уравнения для определения неизвестных

Равенство нулю определителя этой системы

является условием существования отличных от нуля величин это же равенство является уравнением частот, или вековым уравнением. Его корни являются квадратами частот собственных колебаний системы (1.2). Каждой частоте соответствует частное решение системы (1.2)

где — минор элемента с номером последней строки определителя (1.5), вычисленный для значения постоянные интегрирования.

Общее решение системы уравнений (1.2) выражается следующим образом:

Постоянные интегрирования определяются как корни уравнений

которые представляют собой формулировку начальных условий. Величины являются заданными значениями координат и скоростей в начальный момент времени

Частное решение (1.6), принадлежащее одной из частот представляет собой совокупность колебаний всех координат

Эти колебания имеют одинаковую частоту одинаковую фазу колебаний и имеют свою форму, которая характеризуется совокупностью величин Выражения (1.9) представляют так называемое главное колебание частоты главное колебание системы). Форма каждого главного колебания для данной системы неизменна, она зависит от параметров системы Форму любого главного колебания легко построить, назначив каждой координате отклонения, пропорциональные величинам поскольку

в любой момент времени

В общем случае собственные колебания твердого тела представляют собой совокупность (наложение) всех шести главных колебаний, как это видно из общего решения (1.7). Доля каждого из главных колебаний в этой совокупности зависит от начальных условий. Выбирая должным образом начальные отклонения и начальные скорости можно с помощью соотношений (1.8) добиться того, чтобы в общем решении (1.7) преобладали желаемые формы колебаний.

Поскольку формы главных колебаний всегда остаются неизменными, нередко бывает удобнвш вместо исходных натурных координат тела пользоваться другими координатами которые являются носителями форм колебаний, т. е. каждая из координат представляет одно главное колебание. Связь между координатами легко установить, обратившись к общему решению (1.7). Действительно, представителем только одной формы колебаний является совокупность слагаемых

Приняв в качестве координат значение

мы отнесем все слагаемые формы колебаний к этой координате.

Соотношения между прежними координатами и новыми координатами получим непосредственно из общего решения (1.7)

Очевидно, что выражения (1.11) являются решениями уравнений

В свою очередь этим уравнениям соответствуют выражения кинетической и потенциальной энергии в следующей форме:

Следовательно, координаты являются нормальными координатами нашей системы. Соотношения между координатами (1.12) дают возможность осуществить преобразование выражений кинетической энергии (2.2.9) и потенциальной энергии (2.2.10) в выражения (1.14), не содержащие произведений координат, в чем легко убедиться непосредственной подстановкой.