Главная > Колебания твердых тел
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ГЛАВА III. ЛИНЕЙНЫЕ И БЛИЗКИЕ К НИМ КОЛЕБАНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Анализ колебаний твердого тела на основании линеаризованных уравнений (2.2.8) или (2.2.18) не представляет трудностей, поскольку эти уравнения являются частным случаем хорошо изученных уравнений движения линейной колебательной системы с степенями свободы. Теория колебаний линейной системы с степенями свободы разработана весьма детально, ее результаты непосредственно приложимы для описания колебаний твердого тела.

§ 1. Собственные колебания твердого тела

Собственные колебания твердого тела описываются уравнением

которое следует из уравнения (2.2.18), если в нем исключить из рассмотрения силы сопротивления движению и внешние силы

В скалярной форме это уравнение эквивалентно системе уравнений:

где — символ Кронекера:

Решение системы уравнений (1.2) отыскивается в виде гармонических функций

в которых подлежат определению. Подставляя решение (1.3) в систему уравнений (1.2), получим уравнения для определения неизвестных

Равенство нулю определителя этой системы

является условием существования отличных от нуля величин это же равенство является уравнением частот, или вековым уравнением. Его корни являются квадратами частот собственных колебаний системы (1.2). Каждой частоте соответствует частное решение системы (1.2)

где минор элемента с номером последней строки определителя (1.5), вычисленный для значения постоянные интегрирования.

Общее решение системы уравнений (1.2) выражается следующим образом:

Постоянные интегрирования определяются как корни уравнений

которые представляют собой формулировку начальных условий. Величины являются заданными значениями координат и скоростей в начальный момент времени

Частное решение (1.6), принадлежащее одной из частот представляет собой совокупность колебаний всех координат

Эти колебания имеют одинаковую частоту одинаковую фазу колебаний и имеют свою форму, которая характеризуется совокупностью величин Выражения (1.9) представляют так называемое главное колебание частоты главное колебание системы). Форма каждого главного колебания для данной системы неизменна, она зависит от параметров системы Форму любого главного колебания легко построить, назначив каждой координате отклонения, пропорциональные величинам поскольку

в любой момент времени

В общем случае собственные колебания твердого тела представляют собой совокупность (наложение) всех шести главных колебаний, как это видно из общего решения (1.7). Доля каждого из главных колебаний в этой совокупности зависит от начальных условий. Выбирая должным образом начальные отклонения и начальные скорости можно с помощью соотношений (1.8) добиться того, чтобы в общем решении (1.7) преобладали желаемые формы колебаний.

Поскольку формы главных колебаний всегда остаются неизменными, нередко бывает удобнвш вместо исходных натурных координат тела пользоваться другими координатами которые являются носителями форм колебаний, т. е. каждая из координат представляет одно главное колебание. Связь между координатами легко установить, обратившись к общему решению (1.7). Действительно, представителем только одной формы колебаний является совокупность слагаемых

Приняв в качестве координат значение

мы отнесем все слагаемые формы колебаний к этой координате.

Соотношения между прежними координатами и новыми координатами получим непосредственно из общего решения (1.7)

Очевидно, что выражения (1.11) являются решениями уравнений

В свою очередь этим уравнениям соответствуют выражения кинетической и потенциальной энергии в следующей форме:

Следовательно, координаты являются нормальными координатами нашей системы. Соотношения между координатами (1.12) дают возможность осуществить преобразование выражений кинетической энергии (2.2.9) и потенциальной энергии (2.2.10) в выражения (1.14), не содержащие произведений координат, в чем легко убедиться непосредственной подстановкой.

1
Оглавление
email@scask.ru