§ 2. Пространственная устойчивость колебаний амортизированного объекта

Защита от вибраций или вибрационная амортизация технических объектов является весьма актуальной задачей, поскольку очень многие технические объекты нуждаются в защите от действия на них колебаний. Имеется ряд обстоятельных исследований, посвященных решению таких задач [1—5, 17, 85, 94, 102—106, 119, 147, 150, 184].

В большинстве случаев защита от вибраций достигается путем установки защищаемого объекта на упругие опоры. Рациональное размещение упругих опор, выбор их параметров, а также рациональное размещение демпфирующих устройств осуществляется обычно с помощью представлений теории виброизоляции, которая построена на основе анализа линейных дифференциальных уравнений, описывающих колебания объекта (твердого тела) на упругих опорах. Согласно этой теории желательным решением является такое, когда свободные колебания тела оказываются полностью «развязанными», т. е. когда возбуждение колебаний в направлении одной из координат вызывает движение тела в направлении только этой координаты и не вызывает колебаний в направлении других координат. Это достигается, как было показано в главе III, в случае, когда центр жесткости системы упругих опор совпадает с центром тяжести объекта и, кроме того, главные оси жесткости совпадают с главными центральными осями инерции твердого тела (объекта).

Предположим, что желательное решение получено, т. е. линейная (линеаризованная) система уравнений колебаний амортизированного объекта получилась в виде совокупности шести несвязанных уравнений, каждое из которых описывает движение тела лишь в направлении одной координаты. Выясним с помощью изложенной выше теории пространственной устойчивости

коле баний твердого тела, какие режимы движения могут возникнуть у такой системы, если ее рассматривать как систему нелинейную.

Пусть исследуемая система амортизируемого объекта представляет собой твердое однородное тело, симметричное относительно плоскостей М и подвешенное на упругих амортизаторах (пружинах). Амортизаторы имеют длину коэффициенты жесткости расположены они симметрично относительно плоскостей М и по схеме, представленной на рис. 28.

Рис. 28.

Подвижную систему координат Охуг свяжем с телом так, чтобы ее начало О, помещалось в центре массы тела, а ее оси являлись главными центральными осями инерции тела. Моменты инерции тела А, В, С относительно этих осей постоянны.

Неподвижную систему осей расположим так, чтобы в положении равновесия тела она совпадала с подвижной системой Оххуг. Коэффициенты жесткости амортизаторов выберем так, чтобы суммарные характеристики жесткости амортизации были симметричными относительно координатных плоскостей При таком условии должны выполняться равенства

Очевидно, что у этой системы точка О, является центром жесткости упругих элементов, оси являются главными осями жесткости. Они совпадают с главными центральными осями инерции твердого тела. Следовательно, в линейном приближении амортизируемый объект описывается шестью несвязанными линейными уравнениями движения вида (3.1.13). Очевидно также,

что рассматриваемая система является частным случаем модельной системы, представленной в главе II, поэтому уравнения (2.3.11) вполне пригодны для описания колебаний этой системы с учетом ее нелинейных свойств.

Следует, однако, обратить внимание на описание внешних сил, действующих на амортизируемый объект. В уравнениях (2.3.11) предполагалось, что внешние силы неизменно ориентированы относительно осей неподвижной системы такие случаи довольно часто встречаются на практике. Встречаются также случаи, когда внешнее воздействие передается через подвижное основание. Подобные случаи были детально рассмотрены в § 1. Кроме этих случаев встречаются такие, когда внешние силы ориентированы неизменно относительно твердого тела и перемещаются вместе с ним. Типичным примером такого рода является задача об амортизации работающей машины (станка), на которую действуют периодические силы инерции неуравновешенных масс, неизменно ориентированные относительно машины. Этот последний случай внешнего воздействия примем во внимание при анализе движения изучаемой системы.

Положим, что в точке тела приложена периодическая сила неизменно направленная вдоль оси Заметим, что при колебаниях тела ориентация силы относительно осей неподвижной системы будет изменяться, появятся проекции этой силы и ее моментов на координатные оси неподвижной системы. В линейном приближении эти проекции не учитываются. В рассматриваемом здесь нелинейном приближении они выражаются в виде произведения силы на координаты системы. С учетом таких сил уравнения движения изучаемой системы можно записать в следующем виде:

Развернутые выражения для функций , и выражения для величин даны в приложении 4.

Если изучаемую систему рассматривать как линейную, т. е. считать тогда уравнения (2.1) имеют следующее частное

решение:

Вынужденные колебания тела, которые описываются этим решением, представляют собой колебания тела с частотою со в направлении оси в то время как остальные пять координат тела сохраняют исходное нулевое положение. Ось при этом совпадает с осью

В линейной теории вибрационной защиты это решение служит основой для того, чтобы предусматривать защиту тела от колебаний лишь в направлении оси поскольку пять других координат тела не возбуждаются.

Из структуры уравнений (2.1) можно увидеть, что нелинейная постановка задачи отражает возможности появления колебаний тела в направлении всех его шести координат при том же возбуждении силой в направлении оси Эти возможности возникают по двум причинам. Во-первых, вынужденные колебания тела в направлении координат будут возбуждать колебания тела в направлении других координат, поскольку содержится в нелинейных членах всех шести уравнений системы (2.1). Во-вторых, кроме основной проекции внешней силы которая вошла в третье уравнение системы (2.1) в виде проекции этой силы на другие оси и проекции ее моментов вошли в первое, второе, четвертое и пятое уравнения как малые величины, периодические по Таким образом возникает необходимость заботиться о том, чтобы исключить или ограничить возможности возбуждения колебаний тела в направлении пяти его координат даже в том случае, когда в линейной части уравнений движения эти переменные полностью разделяются и свободны от непосредственно действующих внешних сил.

Чтобы выяснить возможности возбуждения колебаний амортизированного тела в направлениях координат будем рассматривать устойчивость колебаний тела в режиме движения, который характеризуется решением (2.2). Для этого достаточно воспользоваться методикой, развитой в главе IV. Следуя этой методике, найдем для изучаемой системы значение параметров Д», которые входят в уравнение (4.5.5), после чего воспользуемся выражениями (4.6.4) — (4.6.11), чтобы получить требуемые критерии устойчивости вынужденных колебаний (2.2).

При соотношениях частот вида вынужденные колебания (2.2) будут устойчивыми, если

выполняются неравенства

где

Следовательно, вынужденные колебания тела в направлении оси С (2.2) будут неустойчивыми в следующих случаях:

а) при если не выполняются неравенства

В таком случае возникнут нелинейные колебания в направлении координаты 1 с частотою кроме вынужденных колебаний

б) при если не выполняются неравенства

В этом случае возникнут нелинейные колебания в направлении координаты с частотою кромг вынужденных колебаний

в) при если не выполняются неравенства

В этом случае возникнут нелинейные колебания в направлении координаты с частотою кроме вынужденных колебаний

Нелинейные колебания в направлении координат и при возникнуть не могут, поскольку при неравенства (2.3) всегда выполняются, так как

Аналогичный анализ, выполненный для резонансных соотношений вида приводит к выводу, что в условиях таких резонансов нелинейные колебания изучаемого амортизированного тела не могут возбудиться, решение (2.2) остается устойчивым.

Выясним теперь возможности возбуждения нелинейных колебаний амортизированного тела в условиях кратных резонансов типа . Анализ пространственной устойчивости вынужденных колебаний (2.2) для таких резонансных соотношений, выполненный по методике, развитой в главе IV, приводит к выводу, что из десяти возможных

резонансов названного типа неустойчивость вынужденных колебаний (2.2) возможна лишь в следующих двух случаях соотношений частот:

Условия устойчивости соответствующих состояний или определяются характером корней уравнения (4.6.7), где параметры имеют следующие значения:

для первого из резонансных соотношений (2.4),

для второго из резонансных соотношений (2.4); здесь или

Условия отрицательности вещественных частей корней выражаются неравенствами (4.5.6). Кроме того, для исследуемой системы в соответствующих частных случаях применимы условия устойчивости (4.6.8) -(4.6.11). Если условия устойчивости не выполняются, возникают нелинейные колебания объекта одновременно в направлении координат или кроме того, тело колеблется в направлении координаты . Влияния отдельных параметров системы на условия возбуждения колебаний определяются исходя из выражений

Наконец, приведем результаты анализа устойчивости решения (2.2) для случая самой сильной связанности колебаний объекта. Пусть резонансным соотношениям вида одновременно удовлетворяют частоты соответствующие всем пяти координатам (кроме координаты

Тогда установим следующее:

— возможно возбуждение колебаний одновременно в направлении всех пяти координат условия устойчивости состояния определяются неравенствами (2.3) (при а устойчивость состояний зависит от характера корней уравнения

(4.6.7), где параметры соответственно выражаются, как и в предыдущем случае, равенствами (2.5), (2.6).

Рассмотренный случай, резумеется, встречается на практике реже других. Неравенства (2.3) и (4.5.6), (4.6.8) — (4.6.11) с учетом (2.5), (2.6) могут быть рекомендованы для выбора параметров проектируемых систем виброамортизации с целью устранения связанности колебаний описанного вида. Аналогичным образом могут быть определены условия возбуждения пространственных колебаний объекта в областях комбинационных резонансов.

В заключение заметим, что нелинейные задачи вибрационной амортизации весьма многогранны и далеко не исчерпываются затронутым здесь аспектом. Так, в работе [106] был предложен способ, который позволяет в некоторых случаях найти такое расположение амортизаторов, при котором обеспечивается независимость колебаний каждого из них.