§ 4. Экспериментальное исследование нелинейных резонансных режимов пространственных колебаний твердых тел

Настоящее исследование посвящено экспериментальному подтверждению, некоторых теоретических результатов о закономерностях развития стационарных периодических и почти периодических пространственных колебаний твердого тела в условиях резонансов. Рассматриваются также некоторые процессы перекачки энергии колебаний между различными обобщенными координатами тела, происходящие при пространственных резонансных колебаниях твердого тела.

Рис. 67.

Если в предыдущем параграфе в основном имело место экспериментальное изучение пространственной неустойчивости движения тела (возбуждение колебаний), то здесь исследуются колебания тела в областях неустойчивости основных режимов колебаний. В первую очередь ставится задача качественного подтверждения основных теоретических положений глав VI, VII, кроме того, указывается также на некоторые явления, которые теоретически не рассматривались.

Исследование пространственных колебаний твердых тел производится так же, как и в § 3, на двух механических моделях (рис. 53—56) для различных вариантов.

1. Пространственные колебания твердого тела, установленного на поступательно вибрирующем основании (рис. 53, 54).

1-й вариант. Собственные частоты системы равны

Для резонанса в § 3 показана возможность возбуждения колебаний тела в направлении координат и построены границы областй неустойчивости. Здесь будем интересоваться установившимися колебаниями твердого тела в условиях резонансов.

Эксперименты показывают, что через некоторое время в направлении координат устанавливаются стационарные периодические колебания тела с постоянной амплитудой и частотой . Причем амплитуды возбудившихся колебаний во много раз (3—6 раз) превышают амплитуды колебаний в направлении координаты . Светящийся шарик, установленный на твердом теле, описывает устойчивую замкнутую кривую, соответствующую периодическим колебаниям тела с отношением частот 1:2 (рис. 67, б). С целью построения резонансной кривой проследим процесс развития таких колебаний (в направлении одной из координат, например, при медленном изменении частоты внешней силы при постоянной амплитуде колебаний стола (при этом амплитуда колебаний тела в направлении оси тоже практически не меняется).

Рис. 68.

Резонансные кривые, построенные при амплитудах колебаний стола мм (кривая 1) и мм (кривая 2), представлены на рис. 68. Как видно из этих кривых, имеют место такие явления, как захват, затягивание и срыв колебаний твердого тела, что подтверждает теоретические результаты глав VI, VII.

Вблизи частот возбуждаются стационарные (с постоянной амплитудой, но переменной фазой) почти периодические колебания твердого тела; при этом светящийся шарик описывает незамкнутую (за конечное число периодов колебаний) пространственную кривую. Колебания тела в направлении координат и вокруг осей происходят с частотами, близкими к соответствующим собственным частотам. Резонансные кривые имеют качественно такой же характер, как и в случае периодических колебаний (рис. 68); но области захвата и затягивания несколько Шире, чем в случае периодических колебаний (при одной и той Же амплитуде колебаний основания). Более подробно почти периодические колебания твердого

тела будут рассматриваться ниже. На основании вышеизложенного можно утверждать о качественном согласии теории и эксперимента по изучению пространственных стационарных колебаний твердого тела.

2-й вариант. Собственные частоты системы равны

При возбуждении колебаний основания в вертикальном направлении с частотой гц возникают стационарные вынужденные резонансные колебания тела вокруг оси с той же частотой и угловые колебания вокруг осей с частотами Стационарные колебания вокруг оси показаны на рис. 69, а. Светящийся шарик, установленный на теле, описывает фигуры Лиссажу, соответствующие отношениям частот (рис. 69, б). Последний случай соответствует вынужденным колебаниям тела по оси и вокруг нее и имеет место в начальный момент времени, когда колебания вокруг оси 0,2 не успели уменьшиться, т. е. процесс еще не установился. Уменьшение амплитуды колебаний тела вокруг оси объясняется обратным влиянием возбудившихся колебаний вокруг осей (в случае внутреннего резонанса или ) на движение тела вокруг оси

Рис. 69.

В теоретических исследованиях глав VI, VII те случаи, когда непосредственно возбуждаемая координата является также резонансной, не рассматривались. Согласно теории амплитуды колебаний в направлении непосредственно возбуждаемой координаты (если соответствующая частота предполагается нерезонансной) в первом приближении не изменяются. Таким образом, как показывают эксперименты, обратное влияние является практически ощутимым лишь в случае внутренних резонансов вышеуказанного типа. В нерезонансных случаях такого взаимовлияния практически не удается установить. В этой части теория находится в согласии с экспериментами.

Качественный характер резонансных кривых, соответствующих колебаниям тела вокруг осей представлен на рис. 70 (кривые 1, 2 относятся к колебаниям вокруг осей ). Максимальная величина амплитуд колебаний вокруг осей в несколько раз (6—10) больше амплитуды колебаний вокруг оси 0,2. Здесь исследовались также свободные колебания тела в случае внутреннего резонанса или

Рис. 70.

Свободные колебания тела имеют характер биений, которые обусловлены перекачкой энергии колебаний между координатами тела (рис. 71, а, б относятся к колебаниям вокруг осей ). Таким образом, свободные пространственные колебания тела в случае внутреннего резонанса имеют характер биений (происходит интенсивная перекачка энергии колебаний между координатами). Такое свойство системы, по-видимому, может быть использовано при демпфировании колебательных систем со многими степенями свободы.

3-й вариант. Собственные частоты системы равны (в гц)

При возбуждении колебаний в вертикальном направлении тела вблизи частот и как было сказано выше, возбуждаются периодические колебания тела по осям От] и вокруг осей Колебания тела через некоторое время устанавливаются, и движение тела оказывается пространственным. Стационарные периодические колебания по оси с частотой и вокруг оси с частотой иллюстрируются рис. 72, а, б. На рис. 64, а, б показан полностью процесс прохождения через указанные области резонансов до их установления. Резонансные кривые в областях резонансов качественно могут быть представлены как на рис. 73.

(кликните для просмотра скана)

Вблизи частот или гц) наблюдаются стационарные почти периодические колебания тела по осям и вокруг осей типа биений (рис. 74, а, б относятся к колебаниям по оси и вокруг оси При этом происходит перекачка энергии колебаний тела между координатами или Частоты этих колебаний близки к собственным частотам. Таким образом, при пространственных колебаниях твердого тела возможно появление почти периодических колебаний типа биений (переменная амплитуда) или колебаний с постоянной амплитудой, но с переменной фазой.

Рис. 74. (см. скан)

В настоящем случае наблюдаются пространственные колебания типа биений также при свободных колебаниях тела по оси и вокруг оси для внутреннего резонанса (рис. 74, в). Такого рода колебания имели место и во втором варианте для резонанса

2. Пространственные колебания твердого тела, несущего вращающийся ротор (рис. 55, 56).

Здесь представлены результаты экспериментального исследования стационарных пространственных периодических и почти периодических колебаний твердого

тела, имеющего в своем составе вращающийся ротор, для указанных в § 3 вариантов механической модели. Рассмотрены лишь те случаи резонансных соотнешений, для которых было указано на возможность пространственной неустойчивости (§ 3).

Рис. 75.

1-й вариант. Собственные частоты исследуемой системы при вращающемся роторе с угловой скоростью имеют значения (в гц)

Эксперименты показывают возможность существования стационарных периодических колебаний твердого тела вокруг осей при возбуждении колебаний основания вокруг оси вблизи удвоенной частоты

Рис. 76.

Рис. 77.

Светящийся шарик, установленный на твердом теле, описывает фигуру Лиссажу, соответствующую отношениям частот (рис. 75). Резонансные кривые, соответствующие возбудившимся колебаниям в направлений координат 0 и с частотами и вынужденными колебаниями тела в направлении непосредственно возбуждаемой координаты представлены на рис. 76, 77.

Резонансная кривая для координаты построена при постоянной амплитуде колебаний стола резонансные кривые получены для двух постоянных значений амплитуды колебаний тела вокруг оси (рис. 76).

Рис. 78. (см. скан)

2-й вариант. Собственные частоты колебаний тела имеют значения (в гц)

Здесь экспериментально удается установить существование стационарных почти периодических колебаний вблизи частот

Рис. 79. (см. скан)

Почти периодические колебания вблизи частоты показаны на осциллограммах (рис. 78, а - 78, в). При этом измерялись колебания тела вокруг оси через пластину 5 (рис. 58). Колебания тела вокруг оси происходят с частотами, близкими к собственной частоте гц. Почти периодические колебания, соответствующие резонансу иллюстрируются осциллограммой (рис. 78, г). При этом измерялись колебания тела по оси через пластину 6 (рис. 58). На рис. представлены пространственные незамкнутые за конечное число периодов колебаний тела кривые, описываемые светящимся шариком, соответствующие резонансам

3-й вариант. Собственные частоты колебаний системы имеют следующие значения (гц):

В настоящем случае экспериментально обнаруживается существование устойчивых почти периодических колебаний тела в области резонансов и также устойчивых периодических колебаний тела в областях субгармонических резонансов Осциллограммы, соответствующие резонансам показаны на рис. Эти записи сделаны соответственно через пластину 9 (рис. 58).

(кликните для просмотра скана)

На рис. 81, а - 81, в представлены траектории светящегося шарика вблизи резонанса а на рис. 81,г - вблизи резонанса

В настоящем исследовании экспериментально подтверждены основные теоретические результаты по изучению стационарных пространственных колебаний твердых тел в условиях резонансов. Подтверждено существование устойчивых периодических и почти периодических пространственных колебаний твердых тел; причем амплитуды возбудившихся колебаний тела могут во много раз превышать амплитуды его колебаний в направлении непосредственно возбуждаемых координат. Основные закономерности развития пространственных колебаний тела в области резонанса (захват, затягивание, срыв и т. д.), полученные теоретически и экспериментально, находятся в полном согласии. Здесь посредством эксперимента выяснены также некоторые другие вопросы, не нашедшие своего отражения в теории. Например, установлено существование стационарных почти периодических колебаний твердого тела с переменной амплитудой и фазой колебаний; показаны возможности перекачки энергии колебаний между координатами тела при его свободных колебаниях в случаях внутренних резонансов. Более полно исследованы периодические колебания тела для гироскопической системы. Полученные результаты теоретического и экспериментального исследований позволяют представить полную картину развития (от начала возникновения до установления колебаний) периодических и почти периодических пространственных колебаний тел в условиях резонансов.