Главная > Колебания твердых тел
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 4. Периодические режимы колебаний свободного твердого тела в случае кратных частот. Взаимодействие поступательных и угловых движений тела

Для выяснения характерных особенностей пространственных колебаний тела в случае кратных резонансных частот ограничимся рассмотрением случаев выполнения резонансных соотношений вида

где — расстройки частот при резонансе.

Принятые случаи резонансов, как будет показано ниже, приводят к трехмерному движению тела, т. е. когда движение тела осуществляется в направлении трех координат: координаты, непосредственно возбуждаемой, и двух других координат, для которых выполняются резонансные соотношения (4.1).

Кроме того, ввиду трудоемкости и сложности исследуемых случаев будем исследовать конкретную динамическую модель, представленную на рис. 9. Однако, несмотря на некоторый частный характер изучаемой модели, полученные результаты, как

было отмечено выше, будут общими для определенного круга технических объектов, находящихся в поле потенциальных сил. Пусть внешние силы и моменты равны

Рассмотрим два характерных варианта резонансных соотношений:

Исследуем подробно каждый из вариантов резонансных соотношений (4.3).

Вариант При принятых внешних возмущениях и резонансных соотношениях уравнения движения (1.1) имеют вид

Введем новые переменные следующими соотношениями:

Поступая так же, как и в § 1, получим усредненные уравнения первого приближения относительно

Анализируя эти уравнения, установим, что пространственные колебания тела могут возникнуть в направлении трех его координат одновременно; такому движению тела будет соответствовать решение вида

Величины определяются уравнениями

где

которые заменой после некоторых преобразований можно представить в тригонометрической форме:

Очевидно, стационарные ненулевые режимы определяются уравнениями

Решить систему уравнений в общем виде не удается, поэтому ограничимся рассмотрением частных случаев. Для этого выпишем значения постоянных коэффициентов более подробно:

Приступим к исследованию частных случаев.

1. Предположим что, очевидно, возможно при определенных значениях коэффициентов жесткостей Тогда первые и последние два уравнения системы (4.8) отделяются; они имеют вид известных нам уравнений (1.15), следовательно, решениями будут

Резонансные кривые представлены на рис. 41, 42.

Таким образом, при одновременно возбуждаются колебания в направлении координат и со своими амплитудами и фазами, независимыми друг от друга.

2. Примем: Как видно из (4.10), этим условиям легко удовлетворить. Тогда некоторыми частными решениями системы (4.9) являются

определяются из уравнений

Имеем

Если то

Построим резонансные кривые, которые соответственно для

имеют вид, как показано на рис. 41, 42.

Таким образом, имеет место синхронный режим колебаний тела в направлении координат

3. Уравнениям (4.9) можно удовлетворить, полагая определяются из уравнений:

Имеем

Движение тела в направлении координаты происходит так же, как и в случае, если резонансному соотношению удовлетворяет только одна частота

Аналогичное же явление может иметь место и в направлении координаты

Прежде чем переходить к исследованию устойчивости полученных решений, проанализируем еще и вариант

Вариант б) Так же, как и в варианте а), получим, что состояния асимптотически устойчивы, а решения относительно переменных 0 и где и их устойчивость определяются из уравнений

Рис. 41.

Рис. 42.

Уравнения (4.16) характеризуют возможности возбуждения угловых колебаний тела в направлении координат 0 и за счет поступательных движений тела в направлении координаты , т. е. позволяют определить взаимосвязанные поступательные и угловые движения тела.

Рассмотрим частный случай, когда т. е. соответствующие этим коэффициентам жесткостей упругие связи отброшены.

Тогда уравнения упрощаются и их можно представить в виде

Здесь

Уравнения (4.17) являются более общим случаем уравнений (4.8), поэтому имеет смысл и здесь искать такие же частные решения, которые были получены для последних.

Предположим, что Тогда уравнениям (4.17) можно удовлетворить, полагая а величины определяются уравнениями (при — )

Отсюда получим

Резонансные кривые такие же, как в варианте а) (рис. 43, 44).

Здесь также имеет место синхронный резонансный режим колебаний тела в направлении координат 0 и обусловленный

нелинейными связями. Из уравнений (4.17) видно, что этот вариант отличается от варианта а) только своими возможностями в смысле осуществления различных частных режимов, которых у первого больше.

Рис. 43.

Рис. 44.

Рассмотрим два конкретных примера. Пусть , тогда колебания в направлении координаты 0 не зависят от колебаний в направлении координаты последние же, наоборот, зависят от первых.

Если то получим

т. е. такое движение тела возможно только благодаря нелинейным связям между координатами

Таким образом, показана возможность существования периодических движений, соответствующих трехмерным пространственным как поступательным, так и угловым колебаниям тела. Причем возбудившиеся колебания в направлении двух обобщенных координат могут происходить независимо друг от друга со своими амплитудами и фазами (например, вариант а) при в исследуемой системе также возможны синхронные режимы колебаний благодаря нелинейным связям между координатами. Здесь могут быть случаи, когда движение в направлении одной из координат не зависит от движения в направлении другой координаты (движение же в направлении второй координаты зависит движения в направлении первой), т. е. имеет место только односторонняя связь между движениями в направлении двух координат.

Теперь, хотя и несколько забегая вперед, заметим, что уравнения (4.8) и (4.17) в некотором смысле являются общими и для других случаев действия внешних сил. Именно к таким же уравнениям, но только с другими значениями постоянных коэффициентов приводит (об этом подробно будет дальше) изучение возбудившихся колебанцй в направлении двух резонансных координат, например, во втором, третьем и других случаях действия внешних сил.

Очевидно, что режимы, в которых (т. е. синхронные), возможны только, если выполняется равенство

Эти условия были удовлетворены в варианте а) сразу же, а в варианте б) только при Теперь вполне естественно возникает вопрос: какие режимы движения возможны, если имеет место зависимость

Нетрудно убедиться в том, что такие соотношения в конкретных случаях могут соблюдаться, например, в третьем, четвертом, пятом случаях действия внешних сил и моментов.

Найдем стационарные решения уравнений (4.17), полагая в них Здесь считаем, что постоянные коэффициенты этих уравнений произвольные, величины, которые приобретают конкретное значение для каждого рассматриваемого случая действия внешних сил. Тогда уравнениям (4.17) можно удовлетворить, полагая в них определяются из следующих уравнений:

Имеем

Если при выполнении соотношения колебания в направлении связанных координат совершались в фазе или в противофазе, то при равенстве разница в фазах равна Как будет показано ниже, такие случаи имеют место при конкретных соотношениях параметров исследуемой системы (§ 5).

Итак, здесь найден еще один режим движения, в котором выполняется фазовое соотношение Безусловно, указанные режимы будут представлять интерес только в случае их устойчивости.

1
Оглавление
email@scask.ru