§ 4. Периодические режимы колебаний свободного твердого тела в случае кратных частот. Взаимодействие поступательных и угловых движений тела

Для выяснения характерных особенностей пространственных колебаний тела в случае кратных резонансных частот ограничимся рассмотрением случаев выполнения резонансных соотношений вида

где — расстройки частот при резонансе.

Принятые случаи резонансов, как будет показано ниже, приводят к трехмерному движению тела, т. е. когда движение тела осуществляется в направлении трех координат: координаты, непосредственно возбуждаемой, и двух других координат, для которых выполняются резонансные соотношения (4.1).

Кроме того, ввиду трудоемкости и сложности исследуемых случаев будем исследовать конкретную динамическую модель, представленную на рис. 9. Однако, несмотря на некоторый частный характер изучаемой модели, полученные результаты, как

было отмечено выше, будут общими для определенного круга технических объектов, находящихся в поле потенциальных сил. Пусть внешние силы и моменты равны

Рассмотрим два характерных варианта резонансных соотношений:

Исследуем подробно каждый из вариантов резонансных соотношений (4.3).

Вариант При принятых внешних возмущениях и резонансных соотношениях уравнения движения (1.1) имеют вид

Введем новые переменные следующими соотношениями:

Поступая так же, как и в § 1, получим усредненные уравнения первого приближения относительно

Анализируя эти уравнения, установим, что пространственные колебания тела могут возникнуть в направлении трех его координат одновременно; такому движению тела будет соответствовать решение вида

Величины определяются уравнениями

где

которые заменой после некоторых преобразований можно представить в тригонометрической форме:

Очевидно, стационарные ненулевые режимы определяются уравнениями

Решить систему уравнений в общем виде не удается, поэтому ограничимся рассмотрением частных случаев. Для этого выпишем значения постоянных коэффициентов более подробно:

Приступим к исследованию частных случаев.

1. Предположим что, очевидно, возможно при определенных значениях коэффициентов жесткостей Тогда первые и последние два уравнения системы (4.8) отделяются; они имеют вид известных нам уравнений (1.15), следовательно, решениями будут

Резонансные кривые представлены на рис. 41, 42.

Таким образом, при одновременно возбуждаются колебания в направлении координат и со своими амплитудами и фазами, независимыми друг от друга.

2. Примем: Как видно из (4.10), этим условиям легко удовлетворить. Тогда некоторыми частными решениями системы (4.9) являются

определяются из уравнений

Имеем

Если то

Построим резонансные кривые, которые соответственно для

имеют вид, как показано на рис. 41, 42.

Таким образом, имеет место синхронный режим колебаний тела в направлении координат

3. Уравнениям (4.9) можно удовлетворить, полагая определяются из уравнений:

Имеем

Движение тела в направлении координаты происходит так же, как и в случае, если резонансному соотношению удовлетворяет только одна частота

Аналогичное же явление может иметь место и в направлении координаты

Прежде чем переходить к исследованию устойчивости полученных решений, проанализируем еще и вариант

Вариант б) Так же, как и в варианте а), получим, что состояния асимптотически устойчивы, а решения относительно переменных 0 и где и их устойчивость определяются из уравнений

Рис. 41.

Рис. 42.

Уравнения (4.16) характеризуют возможности возбуждения угловых колебаний тела в направлении координат 0 и за счет поступательных движений тела в направлении координаты , т. е. позволяют определить взаимосвязанные поступательные и угловые движения тела.

Рассмотрим частный случай, когда т. е. соответствующие этим коэффициентам жесткостей упругие связи отброшены.

Тогда уравнения упрощаются и их можно представить в виде

Здесь

Уравнения (4.17) являются более общим случаем уравнений (4.8), поэтому имеет смысл и здесь искать такие же частные решения, которые были получены для последних.

Предположим, что Тогда уравнениям (4.17) можно удовлетворить, полагая а величины определяются уравнениями (при — )

Отсюда получим

Резонансные кривые такие же, как в варианте а) (рис. 43, 44).

Здесь также имеет место синхронный резонансный режим колебаний тела в направлении координат 0 и обусловленный

нелинейными связями. Из уравнений (4.17) видно, что этот вариант отличается от варианта а) только своими возможностями в смысле осуществления различных частных режимов, которых у первого больше.

Рис. 43.

Рис. 44.

Рассмотрим два конкретных примера. Пусть , тогда колебания в направлении координаты 0 не зависят от колебаний в направлении координаты последние же, наоборот, зависят от первых.

Если то получим

т. е. такое движение тела возможно только благодаря нелинейным связям между координатами

Таким образом, показана возможность существования периодических движений, соответствующих трехмерным пространственным как поступательным, так и угловым колебаниям тела. Причем возбудившиеся колебания в направлении двух обобщенных координат могут происходить независимо друг от друга со своими амплитудами и фазами (например, вариант а) при в исследуемой системе также возможны синхронные режимы колебаний благодаря нелинейным связям между координатами. Здесь могут быть случаи, когда движение в направлении одной из координат не зависит от движения в направлении другой координаты (движение же в направлении второй координаты зависит движения в направлении первой), т. е. имеет место только односторонняя связь между движениями в направлении двух координат.

Теперь, хотя и несколько забегая вперед, заметим, что уравнения (4.8) и (4.17) в некотором смысле являются общими и для других случаев действия внешних сил. Именно к таким же уравнениям, но только с другими значениями постоянных коэффициентов приводит (об этом подробно будет дальше) изучение возбудившихся колебанцй в направлении двух резонансных координат, например, во втором, третьем и других случаях действия внешних сил.

Очевидно, что режимы, в которых (т. е. синхронные), возможны только, если выполняется равенство

Эти условия были удовлетворены в варианте а) сразу же, а в варианте б) только при Теперь вполне естественно возникает вопрос: какие режимы движения возможны, если имеет место зависимость

Нетрудно убедиться в том, что такие соотношения в конкретных случаях могут соблюдаться, например, в третьем, четвертом, пятом случаях действия внешних сил и моментов.

Найдем стационарные решения уравнений (4.17), полагая в них Здесь считаем, что постоянные коэффициенты этих уравнений произвольные, величины, которые приобретают конкретное значение для каждого рассматриваемого случая действия внешних сил. Тогда уравнениям (4.17) можно удовлетворить, полагая в них определяются из следующих уравнений:

Имеем

Если при выполнении соотношения колебания в направлении связанных координат совершались в фазе или в противофазе, то при равенстве разница в фазах равна Как будет показано ниже, такие случаи имеют место при конкретных соотношениях параметров исследуемой системы (§ 5).

Итак, здесь найден еще один режим движения, в котором выполняется фазовое соотношение Безусловно, указанные режимы будут представлять интерес только в случае их устойчивости.