§ 1. Уравнения движения твердого тела в потенциальном поле сил

Во многих случаях колебания твердого тела возникают благодаря действию сил, зависящих от положения тела и его скорости или благодаря действию поля потенциальных сил. Проиллюстрируем это типичными примерами, в которых твердое тело служит в качестве динамической модели реальных, довольно сложных систем.

Рис. 5.

Одним из характерных примеров колебаний твердого тела в поле сил, обладающих потенциалом, являются колебания искусственного спутника Земли. Находясь на орбите за пределами атмосферы, спутник совершает колебания, которые в основном имеют место благодаря действию на него гравитационного поля Земли. Поле гравитационных сил приближенно описывается силовой функцией [14]

где — гравитационная постоянная, - расстояние от центра масс спутника до центра масс Земли: — координаты центра масс спутника в неподвижной системе координат согласно рис. 5.

Действие гравитационного поля Земли на спутник проявляется в виде сил

и моментов

которые входят в хорошо известные уравнения движения спутника

Заметим, что наличие потенциальных сил является фактором, определяющим возможность колебаний спутника как твердого тела.

Рис. 6.

Разнообразные режимы колебаний спутника, в том числе нелинейные резонансные явления, зависят прежде всего от структуры действующих на него потенциальных сил.

В качестве второго характерного примера колебаний твердого тела можно назвать колебания летательного аппарата: самолета, вертолета, ракеты. Уравнения движения самолета как твердого тела, составленные в связанной с ним системе Оххуг (рис. 6),

имеют следующий вид [37, 152]

Здесь - скорость полета, — углы тангажа, рыскания и крена, - сила тяжести, — сила тяги двигателя, — характерные размеры самолета — постоянные величины, — плотность воздуха. Через в уравнениях (1.3) обозначены коэффициенты аэродинамических сил и моментов, которые в общем случае являются функциями кинематических параметров движения и параметров, характеризующих режим полета. Они зависят от углов атаки а, скольжения Р, от углов отклонения рулей (элерона высоты направления зависят от угловых скоростей от числа Маха М и числа Рейнольдса Не входя в детальную структуру сил, действующих на самолет, представленных правыми частями его уравнений движения (1.3), отметим, что часть этих сил может быть отнесена к потенциальным силам, другая часть — к непотенциальным. В формировании свободных колебаний самолета как твердого тела определяющая роль принадлежит потенциальным силам, непотенциальные силы играют важную роль в гашении колебаний и в возбуждении автоколебаний.

Еще одним характерным примером колебаний твердого тела являются колебания судна. Твердое тело, находящееся под воздействием потенциальных и непотенциальных сил, служит приемлемой моделью для описания колебаний судна (рис. 7). Уравнения движения судна [18, 116], записанные в системе корабельных осей, имеют следующий вид:

Здесь М—масса корабля, А, В, С—моменты инерции корабля относительно осей Охуг, Е — центробежный момент инерции корабля относительно оси Действующие на судно силы и моменты сил имеют в своем составе силы плавучести силы сопротивления воды колебаниям судна инерционные силы присоединенных масс воды

Рис. 7.

Если колебания рассматриваются на спокойной воде, силы являются функциями координат корабля, силы -функциями производных от этих координат, силы — функциями вторых производных от координат.

Если ограничиться анализом малых колебаний судна, нелинейные уравнения (1.4) допускают линеаризацию. Линеаризованные уравнения колебаний судна, полученные А. Н. Крыловым [116] с учетом сил плавучести, имеют следующий вид:

Здесь обозначено: - ускорение силы тяжести, у — плотность воды, - характерная площадь сечения судна, - смещение центра тяжести площади относительно центра тяжести

судна, поперечная метацентрическая высота, продольная метацентрическая высота. Заметим, что силы плавучести, которые являются упругими силами воды, при малых колебаниях выражаются как линейные функции координат корабля. С увеличением колебаний эти силы станут нелинейными функциями координат; для углов порядка 30° они могут быть представлены нелинейными выражениями, содержащими кроме линейных членов слагаемые, пропорциональные второй и третьей степени координат.

Список примеров, в которых твердое тело, находящееся под действием потенциальных и непотенциальных сил, служит расчетной динамической моделью для реальной механической системы, легко продолжить. В него войдут автомобиль, железнодорожный вагон и локомотив, экранолет и судно на воздушной подушке, корпус станка или пресса, почти любая машина, установленная на амортизаторах, и многое другое.

Свободные колебательные движения твердого тела возникают вследствие взаимодействия сил инерции твердого тела и сил потенциального поля. Силы инерции твердого тела с исчерпывающей полнотой описываются левыми частями уравнений (1.2), (1.3), (1.4), структура которых почти одинакова. Структура силового потенциального поля в каждой конкретной задаче имеет свою специфику.

Попытаемся сформулировать обобщенную задачу о колебаниях твердого тела, в которой, как частные случаи, содержались бы разнообразные практические задачи. Из сказанного выше следует, что для формулировки такой задачи необходимо определить обобщенную силовую функцию потенциального поля сил. Силовую функцию надо построить с учетом характера задач, на решение которых мы ориентируемся.

Для решения задач о линейных колебаниях твердого тела достаточно в качестве силовой функции взять выражение для потенциальной энергии в виде однородной квадратичной формы от всех координат системы. Построение такой формы не вызывает затруднений.

Значительно более интересными и содержательными являются задачи о нелинейных колебаниях твердого тела, поэтому целесообразно построить обобщенную силовую функцию нелинейных сил. Приступая к построению такой функции, будем исходить из следующего предположения: поскольку свободные колёбания формируются в результате взаимодействия сил инерции и сил потенциального поля, структура нелинейных сил поля должна быть в некотором смысле адекватной структуре нелинейных сил инерции.

Структура нелинейных сил инерции очень сложна, в этом можно убедиться, если левые части уравнений (1.2)-(1.4)

выразить через эйлеровы углы и их производные. Это будут весьма громоздкие тригонометрические соотношения между всеми шестью координатами и их производными, не допускающие разделения переменных.

Математические средства, которыми мы располагаем, сильно ограничивают возможности анализа систем нелинейных уравнений движения. По-видимому, наиболее рациональным будет путь, ведущий к использованию приближенных методов анализа систем с «малой нелинейностью», т. е. к анализу систем нелинейных уравнений квазилинейного типа. Как будет показано далее, уравнения движения твердого тела становятся квазилинейными, если ограничиться рассмотрением колебаний, при которых углы не превосходят значений (ориентировочно). Такому ограничению соответствует возможность приближенной замены тригонометрических функций углов Эйлера первыми двумя членами их разложений в степенные ряды, т. е. Это вынужденное ограничение задачи оправдывается, однако, тем, что в уравнениях движения наряду с основными членами, содержащими координаты удерживаются члены второго порядка (типа и третьего порядка (типа а также первые и вторые производные названных величин по времени. Такой подход дает возможность исследовать основные эффекты нелинейных колебаний, в том числе нелинейные резонансы. Возвращаясь к сказанному ранее о желательной адекватности структуры сил инерции и сил потенциального поля, приходим к заключению, что силовая функция потенциального поля должна иметь в обобщенной задаче следующую структуру:

где - квадратичная форма координат, -форма, содержащая члены третьей степени относительно координат, — форма, содержащая члены четвертой степени относительно координат.

Разумеется, что потенциальные силы полученные как частные производные от силовой функции (1.6) по координатам

должны удовлетворять признакам потенциальности

Здесь использованы обозначения переменных

Тогда силы потенциального поля, действующие на тело и определенные как частные производные от силовой функции по координатам будут содержать слагаемые, пропорциональные первой, второй и третьей степени обобщенных координат. Таким образом, инерционные силы и силы потенциального поля будут представлены в уравнениях движения обобщенной задачи адекватно, в смысле сопоставимого уровня их описания в уравнениях движения

Дополним формулировку обобщенной задачи о колебаниях твердого тела введением сил сопротивления движению и внешних сил. Силы сопротивления движению примем пропорциональными скорости движения. Такое предположение, как известно, позволяет учесть роль этих сил в демпфировании колебаний. Чтобы учесть силы сопротивления движению, введем диссипативную функцию

как однородную квадратичную форму скоростей Частные производные от этой функции по скоростям дадут компоненты сил сопротивления.

Внешние силы учтем в виде явно зависящих от времени заданных сил и моментов отнесенных к координатам

Уравнения движения твердого тела в сформулированной выше обобщенной задаче о колебаниях запишем в соответствии с (1.1)-(1.3). Для неподвижных осей они примут следующий вид:

где проекции момента количества движения а на неподвижные оси выражаются следующим образом:

В этих уравнениях главный вектор Н и главный момент М действующих на тело сил, представлены в виде суммы трех сил разной природы:

где — силы и моменты потенциального поля сил, — силы и моменты сил сопротивления, - силы и моменты внешних сил, заданных как явные функции времени.

В уравнения вошли проекции этих сил на оси неподвижной системы Выразим эти проекции с помощью силовой функции и диссипативной функции Ф, введенных выше равенствами (1.6), (1.9). Проекции получаем непосредственно из силовой функции

Проекции моментов потенциальных сил сначала выразим через проекции потенциальных сил на оси связанной системы :

Затем используем выражения через частные производные силовой функции

Аналогичным образом выразим проекции сил сопротивления и моментов этих сил с помощью диссипативной функции Ф:

где

Для того чтобы система уравнений была замкнутой, ее необходимо дополнить выражениями (1.1.6) для угловых скоростей и выражениями для направляющих косинусов, представленными в таблице 3 или 4.

Система уравнений (1.10) с последующими соотношениями описывает колебания твердого тела под действием потенциальных, непотенциальных и внешних сил в обобщенной задаче, сформулированной выше. Основная цель в постановке такой задачи состоит в том, чтобы иметь единую модельную систему, представляющую колебания твердого тела в потенциальном поле сил, действие которого на тело может быть описано в уравнениях движения линейными и нелинейными слагаемыми, включая величины третьего порядка относительно обобщенных координат. Ограничение величинами третьего порядка (относительно координат и их производных) имеет двойную мотивировку: во-первых, это диктуется условием применимости регулярных математических методов приближенного анализа систем нелинейных дифференциальных уравнений; во-вторых, такое ограничение приемлемо для большинства прикладных задач, поскольку позволяет анализировать основные нелинейные явления при колебаниях. Обобщенная таким образом задача о колебаниях твердого тела будет служить объектом нашего дальнейшего анализа.