§ 2. Возможности изолированных колебаний в направлениях обобщенных координат

Общее решение (1.7) представляет свободные колебания в направлении каждой из координат твердого тела в виде суммы, содержащей шесть гармонических составляющих с частотами Если попытаться возбудить колебания твердого тела путем воздействия на него в направлении лишь одной координаты, т. е. задать, например, а все остальные и положить равными нулю, то тело будет двигаться не только в направлении координаты которая возбуждается непосредственно начальными воздействиями, но и в направлении всех других координат, которые получат возбуждение благодаря линейным связям между координатами в уравнениях движения. Это видно также из соотношений (1.8), которые определяют постоянные интегрирования по заданным начальным условиям.

Довольно часто возникает надобность ограничить возможности передачи колебаний от возбуждаемой координаты к другим координатам твердого тела. Иначе говоря, иногда необходимо изолировать колебания твердого тела в направлении отдельных координат или групп координат. Такую изоляцию можно осуществить (при условии, что колебания описываются системой линейных дифференциальных уравнений) путем надлежащего конструирования поля потенциальных сил. Чтобы рассмотреть конкретно возможности изоляции колебаний, обратимся к модельной системе, в которой потенциальные силы создаются системой упругих элементов согласно схеме, представленной на рис. 8, б.

Уравнение (1.1), описывающее свободные линейные колебания этой системы, представим в следующем развернутом виде:

В отличие от уравнений (2.2.8) здесь введены другие обозначения коэффициентов упругих сил, смысл которых легко установить, сравнивая прежние обозначения (2.2.15) с новыми

обозначениями:

Как видим, в уравнениях (2.1) все координаты связаны, изоляция колебаний в общем случае невозможна. Связи между координатами образованы упругими силами. В рассматриваемой системе коэффициенты упругих сил (квазиупругие коэффициенты) формируются из коэффициентов жесткости упругих элементов, что непосредственно представлено в выражениях (2.2). Некоторую ориентацию относительно роли отдельных коэффициентов упругих сил в формировании связей между координатами можно получить, рассматривая единичные перемещения твердого тела в направлении его координат.

Величины являются коэффициентами линейной жесткости упругой системы, они равны суммарным реакциям всех упругих элементов при единичном поступательном перемещении тела в направлении осей соответственно.

Величины являются коэффициентами крутильной жесткости упругой системы, они равны суммарным моментам реакций всех упругих элементов относительно координатных осей при единичном угловом перемещении тела вокруг тех же осей.

Названные шесть коэффициентов не участвуют в образовании связей между координатами. Остальные коэффициенты участвуют в образовании таких связей. Коэффициенты называются линейно-поворотными жесткостями упругой системы, каждый из них представляет собой сумму моментов реакций упругих элементов относительно координатной плоскости при единичном поступательном перемещении тела в направлении

одной из осей, лежащей в той же плоскости. Эти коэффициенты, а также коэффициенты сух, отражают связи между поступательными и угловыми перемещениями твердого тела.

Коэффициенты жесткости Мху, отражают связи между угловыми перемещениями тела

Очевидно, что колебания в направлениях всех координат твердого тела будут изолированы (разделены), если будут равны нулю все коэффициенты жесткости, кроме

Рис. 12.

Рис. 13.

Выбор параметров и размещение упругих элементов с целью полного или частичного разделения переменных в уравнениях движения существенно облегчается, если воспользоваться представлениями об осях и центрах жесткости [147, 157]. Ось жесткости можно определить как линию, параллельную координатной оси которая проходит вдоль равнодействующей параллельных сил реакций упругих элементов (или проекций этих сил на ось Реакции возникают вследствие поступательного единичного перемещения тела в направлении той же координатной оси (рис. 12). На плоскости ось жесткости проектируется в точку, координаты которой определяются из уравнения моментов для равнодействующей параллельных сил

Аналогичным образом определяется положение оси жесткости параллельной оси :

и оси жесткости , параллельной оси

В общем случае, когда жесткости упругих элементов и расположение упругих элементов произвольны, оси жесткости не пересекаются, они образуют систему перекрещивающихся осей (рис. 13).

При некотором упорядоченном размещении упругих элементов оси жесткости могут пересекаться. Точка пересечения двух осей жесткости называется центром жесткости.

Очевидно, возможны три случая образования центров жесткости как результат попарного пересечения осей жесткости Условия существования этих центров жесткости следующие:

Если два из этих трех условий выполняются одновременно, тогда образуется два центра жесткости; таких возможностей, как видим, имеется три. Возможен также случай, когда все три оси жесткости пересекаются в одной точке О (рис. 14), такой центр жесткости, в отличие от других, называется главным центром жесткости. Для его существования необходимо, чтобы три условия (2.3) выполнялись одновременно.

Рис. 14.

Легко убедиться, что эти условия выполняются для систем с симметричной структурой. Так, если компоненты жесткости каждого упругого элемента удовлетворяют условиям

где а, Ь, с — постоянные коэффициенты, то упругая система всегда имеет главный центр жесткости. Если упругие элементы имеют одинаковую длину, точки их крепления к телу расположены в одной плоскости так, что имеют две взаимно перпендикулярные плоскости симметрий, тогда система имеет главный центр жесткости.

Оси жесткости проходящие через главный центр жесткости О, называются главными центральными осями жесткости, они образуют прямоугольную систему осей . В общем случае система осей может не совпадать с системой осей инерции тела в состоянии покоя тела. По взаимному расположению систем осей и можно судить о возможностях разделения переменных в уравнениях движения.

Наиболее благоприятными для разделения переменных вариантами взаимного расположения названных систем осей являются такие, когда начала обеих систем (т. е. точки О и О) совпадают. Здесь интересны три случая.

Случай а. Центр жесткости О совпадает с центром масс О, но ни одна из главных осей жесткости не совпадает ни с одной из главных осей инерции тела (рис. 15). Линейно-поворотные жесткости при этом равны нулю, т. е.

Уравнения движения (2.1) принимают вид

Здесь поступательные движения изолированы (разделены), вращательные перемещения остаются связанными.

Рис. 15.

Случай б. Центр жесткости О совпадает с центром масс О, одна из главных осей жесткости (положим совпадает с одной из главных центральных осей инерции тела (положим Кроме упомянутых выше линейно-поворотных жесткостей в этом случае обратятся в нуль и «гироскопические» жесткости, т. е. Уравнения движения (2.1) примут следующий вид

Здесь связанными остались лишь координаты .

Случай в. Центр жесткости О совпадает с центром масс О, главные оси инерции совпадают с главными осями жесткости. В этом случае переменные в уравнениях (2.1) полностью разделяются, система уравнений принимает форму шести независимых уравнений:

Случай взаимной ориентации осей жесткости и осей инерции, когда центр жесткости О не совпадает с центром масс О, менее благоприятны для разделения переменных. Подробное описание этих случаев дано в работе (147.