§ 4. О механической модели, имитирующей колебательное движение твердого тела в ньютоновском центральном поле сил

Здесь обсуждается вопрос о некоторых возможностях экспериментального изучения нелинейных пространственных колебаний твердого тела, находящегося в центральном ньютоновском поле сил в лабораторных условиях. Предлагается простейшая механическая модель, которая при выполнении некоторых условий может с определенной точностью имитировать колебательные движения тела в ньютоновском поле сил с большими амплитудами относительно его центра масс. При этом предполагается, что центр масс твердого тела движется по круговой орбите вокруг Земли, несферичностью которой пренебрегают, и учитывается лишь действие на тело гравитационных сил.

1. Динамическая модель. Уравнения движения.

Исходя из предварительного анализа уравнений относительного движения твердого тела, находящегося в ньютоновском центральном поле сил, для рассмотрения в качестве его динамической модели принимаем механическую систему, представленную на рис. 51. Твердое тело установлено с помощью упругих опор на основании Т. Основание Т в свою очередь вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной

Упругие опоры в положении статического равновесия считаются симметрично расположенными относительно координатных плоскостей кроме того, рассматриваются два случая опор (рис. 88, 89):

а) Упругие опоры являются пружинами значительной начальной длины с коэффициентами жесткостей (рис. 89).

б) Упругие опоры в каждой точке могут быть представлены в виде трех взаимно перпендикулярных пружин с коэффициентами жесткостей Ось каждой пружины совпадает с одним из главных направлений упругой опоры, его реакция направлена вдоль ее оси и зависит только от соответствующей составляющей деформации. Начальные длины упругих элементов считаются пренебрежимо малыми величинами по сравнению с размерами тела.

В принятых случаях упругих опор точки их крепления к телу 5 находятся в горизонтальной плоскости (рис. 88,89).

Для вывода уравнений движения приняты системы координат: неподвижная система координат, — система координат, жестко связанная с основанием — система координат, связанная с движущимся телом оси главные центральные оси инерции тела.

В положении статического равновесия точка О, совпадает с точкой О, оси соответствующими осями От],

Мы будем рассматривать колебательное движение тела относительно положения статического равновесия. Положение тела при его колебаниях определяем тремя обобщенными координатами центра масс и тремя углами Эйлера

Рис. 88.

Рис. 89.

При больших пространственных колебательных перемещениях тела силы и моменты, действующие на тело, оказываются нелинейными функциями обобщенных координат.

Уравнения движения тела получены приближенно следующим образом:

а) для случая упругих опор, представленного на рис. 89, упругие силы и моменты определены с точностью до членов второго порядка относительно координат (включительно);

б) для случая опор, соответствующего рис. 88, на величины обобщенных координат никакие ограничения не накладываются; при этом лишь предположено, что т. е. жесткость опоры в направлении оси значительно больше жесткостей опоры в других координатных направлениях

Уравнения движения твердого тела составленные с учетом вышесказанного, могут быть представлены в виде

Здесь

— проекции мгновенной угловой скорости колебательного движения тела на оси — моменты инерции тела относительно осей Круговая частота и упругие моменты выражаются следующими соотношениями (соответственно рис. 89, 88):

- направляющие косинусы между осями и неподвижной осью О

Ставится задача определения параметров принятой механической модели таким образом, чтобы уравнения (4.2), (4.3) выражали колебательное движение спутника относительно центра масс, движущегося по круговой орбите радиуса

2. Условия имитации.

Как известно, уравнения относительного движения спутника при определенных упрощающих предположениях имеют вид (4.2), (4.3), но при этом гравитационные моменты выражаются формулами

где - угловая скорость вращения спутника относительно оси, перпендикулярной к плоскости орбиты, - гравитационная постоянная.

Сравнивая выражения (4.4), (4.5) и (4.6), нетрудно установить, что уравнения (4.2), (4.3) будут уравнениями колебательного движения спутника относительно центра масс при выполнении следующих условий:

или

Очевидно, что условия (4.7) или (4.8) могут быть выполнены лишь

Таким образом, при выполнении неравенств условий (4.7), (4.8) и при выборе угловой скорости вращения основания Т по формуле принятая механическая модель может имитировать колебательное движение спутника Земли относительно его центра масс, если последний движется по круговой орбите вокруг Земли. Можно указать также на принципиальную возможность имитации относительного колебательного движения спутника, если его центр масс движется по эллиптической орбите.

Как известно, в случае эллиптической орбиты имеем следующие соотношения, выражающие связь между истинной аномалией временем и радиусом-вектором орбиты спутника:

- параметр орбиты, — расстояние до апогея орбиты спутника, — расстояние до перигея орбиты.

Тогда, сравнивая соотношения (4.4), (4.5) и (4.6), подставляя в (4.3) и (4.6) вместо выражение со и вместо выражение по формулам (4.9), получим условия имитации:

а) угловая скорость вращения со основания Т должна изменяться по закону

б) параметры упругих опор определяются на основании уравнений

или

Очевидно, что для удовлетворения условиям (4.10) или (4.11) нужно принимать параметры опор переменными во времени определяемыми соотношениями При малых эксцентриситетах орбиты соотношения (4.9) могут быть упрощены, следовательно, могут быть упрощены и равенства (4.10), (4.11), т. е. в некоторых частных случаях может появиться возможность реализации с некоторым приближением условий имитации (4.10), (4.11).