§ 1. Описание механических моделей

Исследование нелинейных пространственных колебаний выполнено на двух экспериментальных установках, общий вид которых и соответствующие им схемы механических моделей показаны на рис. 53, 54 и 55, 56.

Первая модель представляет собой твердое тело установленное посредством симметрично расположенных упругих пружин на вибрирующем основании Т (рис. 53, 54). Основание Т выполнено в виде рамы и жестко укреплено на горизонтальном столе вибростенда, благодаря чему может совершать периодические колебания в направлении неподвижной вертикальной оси по закону

Вторая модель является твердым телом имеющим в своем составе вращающийся ротор Ротор помещен внутри тела и может вращаться с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси ( - центр масс тела причем ось вращения совпадает с главной центральной осью инерции тела Кроме того, тело крепится с помощью упругих пружин также к раме Т, которая может совершать угловые колебания вокруг неподвижной вертикальной оси (рис. 55, 56) также по закону

В обеих моделях твердое тело выполнено в виде металлического кубика, у которого в центре каждой из сторон прикреплены латунные штанги 1, причем к концам последних прикрепляются регулировочные (латунные) диски 5 (рис. 53, 55) (для изменения моментов инерции тела) и шарики 2 (о назначении этих шариков будет сказано при описании измерительной и возбудительной аппаратуры). Тело крепится к раме с помощью стальных пружин по симметричной схеме их расположения (рис. 54, 56), причем точки (места) крепления пружин к телу 5 находятся в серединах ребер кубика, т. е. имеют координаты . Упругие пружины имеют коэффициенты жесткости (горизонтальные пружины) и (вертикальные пружины) и соответствующие им длины в положении статического равновесия тела

Для принятого частного случая упругих пружин проекции главного вектора и главного момента от реакций связей получим, исходя из общих выражений для

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

последних (приложение 2), полагая в них выполненными следующие соотношения:

Очевидно, что равенства (1.1) соответствуют принятому симметричному расположению упругих пружин, координатам их точек крепления и соотношениям между коэффициентами жесткостей упругих пружин (здесь коэффициенты жесткостей упругих пружин в направлении соответствующих координатных осей принимаются равными между собой).

Тогда выражения для имеют окончательный вид (с точностью до нелинейных членов второго порядка)

Здесь

Колебательные движения твердого тела описываются нелинейными уравнениями (5.1.12), (8.1.8) соответственно для первой и второй механических моделей. Причем при определении

выражений нелинейных функций должны быть приняты во внимание формулы (1.2). Кроме того, в уравнениях (8.1.8) нужно положить так как во второй модели, в отличие от модели, рассматриваемой в главе VIII, вращение основания Т отсутствует.

Таким образом, для рассматриваемых механических моделей справедливы те теоретические положения о нелинейных пространственных колебаниях твердых тел, которые были получены в предыдущих главах.

Как видно из (1.2) и уравнений (5.1.12), (8.1.8), упругие силы и моменты не приводят к взаимосвязи колебаний тела в направлениях его обобщенных координат в линейной постановке. Это является следствием принятой симметрии относительно расположения и жесткостей упругих пружин.

Использование результатов исследования пространственной устойчивости твердого тела, полученных в главах IV, V, VIII, позволяет определить резонансные соотношения и соответствующие им возбуждаемые координаты твердого тела на рассматриваемых механических моделях.

Таблица 9.1 (см. скан)

С этой целью нужно проанализировать критерии пространственной устойчивости (4.6.5), (4.6.11), (4.8.3)-(4.8.6), (4.8.8), (8.4.5), (8.5.9) для разных типов возможных резонансов, принимая во внимание выражения упругих сил и моментов согласно соотношениям (1.2), причем, так же, как

и в главе V, должно быть учтено то обстоятельство, что воздействие непосредственной возмущающей силы на тело обусловлено вибрирующим основанием (кинематическое возбуждение).

В результате такого исследования здесь установлены наиболее характерные случаи резонансных соотношений, для которых в рассматриваемых механических моделях целесообразно изучение нелинейных пространственных резонансных колебаний тела.

Таблица 9.2 (см. скан)

Конечно, как было ранее указано, хотя выполнение резонансных соотношений является лишь необходимым условием пространственной неустойчивости движения тела, однако при проведении экспериментов знание таких областей ресонансов будет очень важным потому, что, управляя параметрами возбуждения основания Т (амплитудой и частотой ), можно добиться выполнения и достаточных условий пространственной неустойчивости.

В таблицах 9.1, 9.2 представлены некоторые результаты вышеупомянутого анализа соответственно для каждой из двух рассматриваемых механических моделей.

Здесь - собственные частоты колебаний тела, соответствующие координатам причем, во второй таблице -собственные частоты угловых колебаний тела в направлении координат при

невращающемся роторе - собственные частоты угловых колебаний тела в случае вращающегося ротора

В этих таблицах на каждой строке указаны как непосредственно возбуждаемые координаты, так и те координаты, которые возбуждаются благодаря наличию соответствующего резонансного соотношения (здесь они названы косвенно возбуждаемыми координатами). Например, запись на третьей строке таблицы 9.1 следует понимать следующим образом: в направлении координаты приложена непосредственно возмущающая периодическая сила с частотой и при этом возможно возбуждение резонансных колебаний тела в направлениях координат в области кратного резонанса Следовательно, при проведении экспериментов для каждого резонансного случая (их девять — для первой модели и одиннадцать — для второй), постепенно увеличивая амплитуду колебаний тела в направлении непосредственно возбуждаемой координаты (С или согласно критериям неустойчивости и выдерживая определенную настройку принятого резонансного соотношения, нужно следить за возбуждениями колебаний в направлениях резонирующих координат.

В соответствии с ожидаемыми формами колебаний тела должна быть и построена измерительная аппаратура, описание которой дано в следующем параграфе.