§ 3. О взаимосвязи поступательного и вращательного колебательного движений твердого тела в ньютоновском поле сил

Решению задач о поступательно-вращательном движении твердых тел в ньютоновском поле сил посвящены работы многих авторов [15, 16, 90, 91, 107, 108, 191, 193].

Здесь анализируются некоторые возможности взаимосвязей между колебательными движениями центра масс твердого тела в ньютоновском поле сил и его угловыми колебаниями около центра масс в условиях резонансов [61].

Для этой цели исследуются нелинейные уравнения возмущенного движения спутника, движущегося по круговой орбите.

1. Уравнения движения и постановка задачи.

Для вывода уравнений движения примем следующие системы координат: -неподвижная система координат, начало которой О совпадает с гравитирующим центром, — подвижная система координат, неизменно связанная с телом, оси которой направлены по главным центральным осям инерции тела. Взаимное угловое положение этих осей определим таблицей направляющих косинусов:

Тогда уравнения движения твердого тела в ньютоновском центральном поле сил имеют вид [14]

где - координаты центра масс спутника в неподвижной системе координат - ньютоновская силовая функция, определяемая выражением

где — гравитационная постоянная, — расстояние от текущей точки тела с массой до центра притяжения:

- направляющие косинусы радиуса-вектора в системе координат Сйхуг, определяемые выражениями

Интеграл (3.4) вычисляется по всему объему V тела с той точностью, которая необходима при решении конкретной задачи.

В рассматриваемом случае исходим из известного приближенного значения силовой функции

Следует заметить, что, вычисляя интеграл (3.4) методом разложения в ряд по степеням и учитывая члены

до четвертого порядка малости, получим следующее выражение для силовой функции:

где — некоторые функции относительных направляющих косинусов и геометрии тела; в дальнейшем исследовании необходимости в них нет, поэтому они в явном виде не представлены. Важным здесь является то обстоятельство, что для тела, обладающего определенной геометрической симметрией, в частности, тремя плоскостями симметрии предпоследний член в выражении (3.8) будет равен нулю.

Таким образом, для симметричного тела выражение (3.7) представляет силовую функцию полученную с точностью до третьего порядка относительно величин В дальнейшем считается, что такая симметрия для рассматриваемого тела выполнена, и будем пользоваться для силовой функции выражением (3.7). Компоненты момента ньютоновских сил определяются соотношениями

Тогда уравнения движения (3.2), (3.3) примут вид

Введя сферические координаты центра масс соотношениями

где - долгота, а — широта, уравнения (3.10) представим в виде

Как показано в работе [16], при выполнении некоторых условий уравнения (3.11), (3.13) допускают частное решение, соответствующее движению спутника по круговой орбите радиуса с постоянной угловой скоростью и относительному равновесию тела, т. е. расположению главных центральных осей инерции тела по радиусу-вектору, касательной и бинормали круговой орбиты (невозмущенной) во все время движения.

Если по радиусу-вектору направлена ось (ось момента инерции С), а по бинормали ось (ось момента инерции В), то указанное движение можно представить следующим образом:

При этом движение происходит в плоскости Решение (3.14) существует, если выполняются условия

Здесь индекс 0 означает, что эти выражения рассматриваются вдоль решения (3.14). Неравенство (3.16) вытекает из того, что

для движения (3.14) имеем

следовательно, должно выполняться условие (3.16).

Можно указать большое количество тел, для которых условия (3.15) выполняются. Например, соотношения (3.15) выполняются точно для любого тела, распределение массы в котором имеет осевую симметрию (этому условию могут удовлетворять тела, имеющие также три неравных главных центральных момента инерции, т. е.

Рис. 87.

Условие (3.16) выполняется для главного члена разложения а остальные члены очень малы по сравнению с главным и не могут нарушить неравенство (3.16). Для выполнения поставленной задачи составим нелинейные уравнения возмущенного движения, соответствующего решению (3.14).

С этой целью введем орбитальную систему координат движущуюся вместе с центром инерции невозмущенного спутника согласно решению (3.14) (рис. 87); при этом ось имеет направление радиуса-вектора ось перпендикулярна к радиусу-вектору и направлена в сторону невозмущенного движения спутника, а ось является бинормалью к плоскости орбиты

Направляющие косинусы между осями координат и выражаются таблицей:

Возмущенное движение спутника около стационарного режима (3.14) определяем возмущениями его центра масс и угловыми возмущениями, определяемыми в орбитальных осях, как и в § 1, тремя самолетными углами: - тангажа, - рыскания, - крена.

Направляющие косинусы между осями систем координат выражаются таблицей:

Проекции угловой скорости спутника на оси принимают вид

Теперь параметры, характеризующие движение спутника в возмущенном движении, будут

Направляющие косинусы таблицы (3.1) через направляющие косинусы таблиц (3.18), (3.19) выражаются

соотношениями

или

Выражения для направляющих косинусов определенные по формулам (3.6), используя соотношения (3.18), (3.19), (3.22), можно представить в следующем виде:

или с точностью до членов третьего порядка малости относительно параметров имеем

Уравнения возмущенного движения спутника, полученные исходя из уравнений (3.11), (3.13) с точностью до величин третьего порядка малости относительно параметров

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

и т. д. Как будет видно ниже после введения безразмерных координат, первые оказываются величинами более высокого порядка малости по сравнению со вторыми. Для получения уравнений с такой точностью в настоящем исследовании достаточно пользоваться приближенным выражением (3.7) силовой функции считая последнюю определенной, как было указано выше, для симметричного тела с точностью до третьего порядка относительно величин (при этом вполне будет обосновано удержание в уравнениях членов вида Теперь целью исследования является выяснение возможностей взаимодействия колебательных движений (возмущенного движения около рассматриваемого стационарного режима центра масс и относительно центра масс спутника на основе уравнений (3.25) в условиях резонансов.

2. Анализ резонансных соотношений и определение условий возбуждения пространственных колебаний.

Введем в уравнениях (3.25) малый параметр безразмерную координату и безразмерное время следующим образом:

Тогда уравнения (3.25) можно представить в следующем виде:

Здесь

(кликните для просмотра скана)

Собственные частоты линейной части системы (3.27) будут равны

Анализ нелинейных уравнений (3.27), выполненный так же, как и в § 2, показывает, что в исследуемой системе такие ситуации, которые при выполнении определенных условий могут привести к взаимодействию колебательных движений центра масс и относительно центра масс спутника, возможны лишь при выполнении некоторых из следующих резонансных соотношений между частотами:

Пользуясь необходимыми и достаточными условиями устойчивости малых колебаний спутника относительно центра масс, представленными в § 2, можно показать выполнимость резонансных соотношений для реального тела. При этом соотношения (3.32) могут в областях устойчивости и не выполняться, поскольку форму тела описывают два параметра т. е. независимые частоты можно выбирать лишь двумя способами: либо либо в то время как в эти равенства входит одновременно несколько частот или Отметим, что резонансы выполняются лишь на границе областей устойчивости. Поэтому вопрос о возбуждении связанных резонансных колебаний центра масс спутника и относительно его центра масс целесообразно поставить лишь для некоторых из соотношений (3.29) или (3.31). Резонансные соотношения (3.30) в этом случае представляют интерес только в комбинации с некоторыми из равенств (3.29) или (3.31).

Теперь обратимся к уравнениям (3.27). В функциях нелинейные члены, выражающие влияние угловых колебательных движений тела на его поступательное движение, входят с множителями или Следовав тельно, эти члены будут порядка малости - размер

тела), и ими можно пренебречь по сравнению с другими членами. При выполнении определенной симметрии некоторые из таких членов в точности будут раины нулю, например, если то следовательно, угловые колебания тела в направлении координаты не влияют на его поступательное движение; если же то и угловые колебания тела в направлении координаты не влияют на возмущения его центра масс. Вышесказанное находится в согласии с результатами В. В. Белецкого [16]. Заметим, что такое положение об отсутствии возмущений центра масс за счет его угловых колебаний, полученное с принятой при составлении уравнений движения точностью, обусловлено введением малого параметра соотношениями (3.26), предполагающими определенный характер колебательного движения тела.

В рассматриваемом случае целесообразно ставить лишь задачу изучения возбуждения пространственных угловых колебаний тела в условиях резонансов за счет колебаний его центра масс. Имея в виду в дальнейшем построение приближенных решений уравнений (3.27) методом усреднения, представим систему (3.27) в форме, удобной для приведения ее к стандартной форме, следующим образом.

Вычитая из последнего уравнения системы (3.27) второе уравнение, полагая получим

где

Теперь вместо последнего уравнения истемы (3.27) будем рассматривать уравнение (3.33) и соотношение Тогда ни в одном из первых пяти уравнений системы (3.27) и в уравнении (3.33) не содержится ни ни к, а имеются лишь разности и производные от и .

Анализ линейной части этих уравнений показывает, что колебания центра масс тела вызывают его вынужденные колебания относительно центра масс в направлении координат

Возбуждение таких колебаний очёвидно и объясняется наличием линейных членов относительно переменных в четвертом уравнении системы (3.27) и в уравнении (3.33). В областях резонансов эти колебания тела могут оказаться существенными.

Теперь выясним возможности возбуждения колебаний вокруг центра масс тела за счет колебаний его центра масс, обусловленных нелинейными членами в уравнениях движения, механизм возникновения которых является более сложным. Без ущерба общности решаемой задачи положим т. е. предполагаем движение центра масс происходящим в плоскости (это предположение сделано лишь с целью избежания громоздких выкладок; при получим такие же результаты).

Рассмотрим область резонанса т. е. принимаем где расстройка частот.

Предположим, что в результате некоторых начальных возмущений возникли колебания центра масс тела в направлении координат , а в направлении угловых координат тело находится в равновесии.

Такому движению тела соответствует следующее частное решение первых пяти уравнений системы (3.27) и уравнения (3.33) при

где А, В, С зависят от начальных условий и определяются решением первых двух уравнений системы (3.27). Теперь ставится задача выяснения реализуемости такого режима колебаний тела в области резонанса на основе соответствующих нелинейных уравнений движения. Далее, поступая совершенно так же, как и в § 2 (при этом, как было указано выше, первые два уравнения системы (3.27) отделяются от остальных, следовательно, исследуются независим от них), получим, что при выполнении определенных условий могут возникнуть резонансные колебания тела в направлении угловой координаты (соответственно в направлении координаты Устойчивость состояния определяется неравенством

где

Неравенство (3.35) получено лишь с учетом нелинейных членов, пропорциональных малому параметру в первой степени. Очевидно, что условие устойчивости (3.35) при определенных соотношениях параметров системы может не выполняться, следовательно, возможно возбуждение резонансных колебаний тела в направлении координаты с частотой Таким же образом можно показать возможность возбуждения угловых колебаний тела в направлении координат за счет колебаний центра масс (в направлении координат в областях некоторых из резонансов (3.29) -(3.31).

Теперь выясним некоторые возможности возбуждения колебаний центра масс тела за счет его возмущений вокруг центра масс. С этой целью в уравнения (3.27) введем второй малый параметр равенствами

Принятые соотношения (3.36) накладывают определенные ограничения на возможные колебательные движения центра масс тела.

Уравнения движения тела, полученные с точностью до первой степени малых параметров и можно представить в следующем виде (здесь также для простоты положено

где

Предположим, что к телу приложены начальные возмущения в направлении угловых координат, в частности, в направлении координаты т. е. при имеем

Согласно вышесказанному ставим задачу определения возмущений в направлении координат для точного резонанса

Для этого первые три уравнения системы (3.37) приводятся к стандартной форме заменой переменных:

Для приведения к стандартной форме последних двух уравнений системы (3.37) используется замена (10.2.2).

Далее, поступая так же, как в § 2, получим следующие уравнения для огибающих, характеризующие возмущения центра масс тела в направлении координат

(Здесь принято При этом и величины зависят от начальных возмущений в направлении координаты По уравнениям (3.40) видно, что состояния при неустойчивы, т. е. возможны возмущения центра масс тела за счет его возмущений относительно центра масс. Анализ уравнений для огибающих, соответствующих координатам показывает, что в направлении последних колебания не возбуждаются.

Таким же образом можно показать возможность возмущений центра масс тела за счет его угловых возмущений в направлении координаты в области резонанса Другие резонансные ситуации, которые также могут привести к аналогичным возмущениям центра масс, можно показать с учетом нелинейных членов более высокого порядка малости (второй степени относительно и при различных комбинациях начальных возмущений в направлении угловых координат

В настоящем исследовании указано лишь на некоторые основные механизмы взаимосвязей поступательных и угловых колебательных движений тела и рассмотрены наиболее характерные случаи резонансов. Для более подробного изучения этих явлений необходимо обратиться к исследованию самих периодических или почти периодических режимов колебаний тела. Исследование периодических режимов колебаний, по-видимому, целесообразно выполнять способом, разработанным для автономных систем методом малого параметра Пуанкаре. Заметим,

что выбранный здесь подход для выяснения таких явлений объясняется тем, что он позволяет наиболее просто получить обозримые результаты, наглядно показывающие основные механизмы взаимосвязанности колебаний, в то время как построение самих решений связано со сложным анализом и не всегда удается довести его до конца, не прибегая к численным расчетам.