§ 3. Экспериментальное исследование пространственной устойчивости движения твердых тел

Здесь выясняются возможности возбуждения нелинейных пространственных колебаний твердого тела для различных типов резонансов, указанных в таблицах 9.1 и 9.2. Сначала остановимся на первой механической модели, т. е. исследуем

колебания тела, установленного на основании, совершающем вертикальные колебания.

1. Исследование возбуждения пространственных колебаний твердого тела, установленного на поступательно вибрирующем основании.

Рассматривается несколько вариантов механических моделей, отличающихся друг от друга жесткостями упругих пружин массой М, моментами инерции тела А, В, С, т. е. собственными частотами системы.

1-й вариант. Начальные параметры механической модели: вес тела со штангами и шариками момент инерции тела относительно осей (размеры кубика мм), длины пружин в положении статического равновесия мм, жесткости пружин . Далее при проведении экспериментов начальные параметры механической модели в большинстве случаев подлежат регулировке (в малой или большой степени) с целью настройки системы на определенный резонанс. Например, такими параметрами являются коэффициенты жесткостей пружины, зависящие практически их натяжения, массы и моменты инерции тела, которые, как было указано выше, изменяются добавлением регулировочных дисков. Ниже собственные частоты системы и также другие ее характеристики представлены после регулировки, т. е. после точной настройки системы на изучаемый тип резонанса. Собственные частоты определенные возбуждением свободных колебании тела в направлении осей и вокруг осей и фиксированием соответствующей парой «шарик—пластина» посредством цифрового измерителя частоты, равны (в гц)

Будем интересоваться возбуждением пространственных колебаний тела в областях резонансов или

Для резонанса условия устойчивости состояний определяются неравенствами

где - амплитуда колебаний основания

Из соотношений (3.1) очевидно, что практически при проведении эксперимента с целью возбуждения колебаний тела в направлении координат условиям неустойчивости легче удовлетворить путем плавного изменения частоты внешней силы для уменьшения расстройки и увеличивая амплитуду колебаний основания при постоянстве остальных параметров системы.

Рис. 61.

Таким путем можно экспериментально построить границы областей неустойчивости. Проведенные эксперименты подтверждают теоретический вывод о появлении интенсивных резонансных колебаний в направлении координат Е и вблизи частот (при достижении определенной величины амплитуды колебаний основания амплитуды которых нарастают до больших значений; при этом зависимость условий возникновения резонансных колебаний от величины расстроек частот и амплитуды колебаний согласуется с теорией.

Эти колебания возникают с частотой, равной половине частоты внешней силы и процесс возбуждения колебаний происходит согласно рис. (в этом случае колебания в направлениях обеих осей 0? и возбуждаются одинаково). Границы области неустойчивости, определяемые формулами (3.1), соответствующие одной из координат показаны на рис. 62. На том же графике нанесены экспериментальные результаты, которые, как видно, также согласуются с теорией.

При этом коэффициенты выражающие силы сопротивления движению тела, определялись на основе обработки осциллограмм затухания свободных колебаний в направлениях координат (здесь частоты колебаний и специально расстраивались с целью избежания перекачки энергии колебаний между различными координатами тела при его собственных колебаниях в случае внутреннего разонанса). В расчетах

использовалась максимальная из полученных величина коэффициента А, равная которой соответствует декремент затухания Здесь при численном получении критериев устойчивости сказываются погрешности определения в основном коэффициентов демпфирования и жесткостей упругой системы, которые закладываются в расчет. Такое же интенсивное возбуждение колебаний наблюдается вблизи частоты При этом одновременно возбуждаются колебания в направлениях координат и вокруг осей с частотами, близкими к собственным. Пространственное движение тела оказывается сложным, которому соответствуют почти периодические колебания тела. Зона неустойчивости (возбуждения) здесь несколько шире, чем при возбуждении периодических колебаний (при одной и той же величине амплитуды колебаний основания . В области резонанса пространственные колебания не возбуждаются. Этот факт находится в согласии с теорией и является ее качественным экспериментальным подтверждением.

Рис. 62.

2-й вариант. Настоящий вариант отличается от первого меньшей жесткостью вертикальных пружин и наличием дополнительных регулировочных масс на штангах. Это позволило понизить собственные частоты угловых колебаний вокруг осей Собственные частоты равны Здесь коэффициенты жесткостей горизонтальных пружин не равны между собой, т. е. (разница небольшая), поэтому частоты практически несколько отличаются друг от друга (на десятые доли герца). В настоящем случае при возбуждении колебаний основания в вертикальном направлении с частотой примерно гц удается возбудить обычные резонансные колебания тела вокруг оси с той же частотой. Такие колебания возникают в узком диапазоне частот, т. е. при очень точном резонансе ( гц при мм), и обусловлены различными технологическими погрешностями изготовления модели. Такие неточности несколько нарушают условия симметрии тела относительно его упругих и инерционных свойств и приводят к связанности колебаний,

которая, как известно, может быть обнаружена в линейной постановке задачи. В настоящем эксперименте это возбуждение колебаний было специально усилено за счет резонанса и использовано для изучения возникновения нелинейных резонансных колебаний тела вокруг других осей. Далее при достижении определенной величины амплитуды колебаний тела вокруг оси в свою очередь последние вызывают появление резонансных колебаний тела вокруг осей с частотами, равными половине частоты внешней силы Таким образом, колебания тела оказываются пространственными. Ввиду того, что собственные частоты колебаний вокруг осей различаются между собой на десятые доли герца, сначала возбуждаются колебания вокруг оси а потом — вокруг оси

Рис. 63.

Угловые колебания вокруг оси возбуждаются при частоте , а вокруг оси — при . В момент возбуждения угловых колебаний вокруг осей амплитуда вынужденных колебаний тела вокруг оси сильно уменьшается, т. е. происходит перекачка энергии колебаний тела (амплитуды колебаний тела вокруг осей растут). Диапазон возбуждения колебаний вокруг осей очень узкий, примерно при мм — амплитуда колебаний основания). Осциллограмма, иллюстрирующая возбуждение колебаний тела вокруг оси показана на рис. 63. Запись выполнена через пластину 9 (рис. 58). В начале осциллограммы видны вынужденные колебания тела по оси с частотой , а далее возбуждение колебаний вокруг оси с частотой . В рассматриваемом варианте удается также возбудить почти периодические колебания в направлении осей и вокруг осей вблизи частот Зона возбуждения (неустойчивости) почти периодических колебаний несколько шире зоны возбуждения субгармонических колебаний (при одной и той же величине амплитуды Колебания тела происходят с частотами, близкими к собственным.

3-й вариант. Подбором параметров упругой системы достигнуты следующие частоты упругой системы:

Здесь также имеется незначительная разница между следовательно, соответствующие частоты также отличаются друг от друга.

Рис. 64.

Рассматриваемый вариант является наиболее сложным случаем многократного резонанса., так как четыре частоты близки между собой; могут иметь место резонансы как типа так и типа

Здесь так же, как и в вышерассмотренном случае, специально возбуждаются вынужденные резонансные колебания вокруг оси

0,2 вблизи частоты за счет небольших неточностей изготовления модели.

При изменении частоты поступательного возбуждения колебаний по оси в диапазоне частот примерно гц возникают вынужденные крутильные колебания вокруг оси постепенно переходящие в поступательные колебания с частотой по осям (вблизи гц) и угловые колебания с частотой вокруг осей (вблизи гц). Возбуждение таких колебаний обусловлено как поступательными движениями тела по оси так и вынужденными колебаниями вокруг оси . Процесс возбуждения периодических колебаний тела в направлении осей с

частотой иллюстрируется рис. 64, а, б. Запись выполнена пластинами 6, 7 (рис. 58); в начале осциллограммы видны вынужденные колебания, тела вокруг оси постепенно уменьшающиеся по мере роста поступательных колебаний тела по, осям

Вблизи частоты или наблюдается возбуждение почти периодических колебаний тела по осям и вокруг осей с частотами, близкими к собственным.

Зона возбуждения почти периодических колебаний несколько шире зощл возбуждения периодических колебаний тела. Например, при амплитуде колебаний стола мм зона возбуждения почти периодических колебаний гц, а периодических Общая зона возбуждения пространственных колебаний здесь достигает величины гц (при той же амплитуде колебаний стола).

2. Исследование возбуждения пространственных колебаний твердого тела, несущего вращающийся ротор (рис. 55, 56).

В рассматриваемой механической системе непосредстненное возбуждение колебаний тела осуществляется благодаря вибрирующему основанию Т, вокруг оси по закону

Так же, как и в случае рассмотренной выше механической модели, экспериментально показаны возможности возбуждения периодических и почти периодических пространственных колебаний твердого тела для некоторых типов резонансов согласно таблице 9.2.

С этой целью рассмотрено несколько вариантов механической модели, отличающихся друг от друга собственными частотами. Ниже кратко изложены результаты исследования.

1-й вариант. Собственные частоты исследуемой системы при вращающемся роторе с угловой скоростью об равны (в гц)

Эксперименты показывают, что при определенной величине амплитуды колебаний основания вблизи удвоенной частоты возбуждаются резонансные угловые колебания вокруг осей с частотой

На рис. 65, 66 показаны границы областей неустойчивости в координатах полученные экспериментально. Здесь — минимальные амплитуды колебаний тела и основания Т соответственно вокруг оси при частоте возмущения , необходимые для наступления пространственной неустойчивости.

По этим графикам видно, что возбуждение пространственных колебаний возможно при сравнительно малой амплитуде колебаний основания вплоть до расстройки частот, равной гц. Несимметричность графика относительно оси объясняется, как будет показано в следующем параграфе, нелинейностью системы.

2-й вариант. Собственные частоты колебаний тела имеют значения (при ) (в гц)

Здесь удается возбудить пространственные почти периодические колебания в областях резонансов при определенной величине амплитуды колебаний основания появляются колебания тела по оси и вокруг оси по оси и вокруг оси

Рис. 65.

Рис. 66.

Здесь также могут быть определены минимальные значения амплитуд при заданной частоте . Последние представлены в виде таблицы 9.3.

3-й вариант. Собственные частоты колебаний системы равны

Здесь удается возбудить пространственные периодические и почти периодические колебания тела в областях резонансов

Диапазон частот возбуждения колебаний для комбинационных резонансов так же, как в вышерассмотренных случаях, несколько шире, чем для субгармонических резонансов (при

одинаковых значениях амплитуды колебаний основания). Возбуждение субгармонических и почти периодических колебаний происходит так же, как и в соответствующих случаях первой механической модели.

Таблица 9.3

Таким образом, экспериментально подтверждаются теоретические положения о возможности возбуждения пространственных колебаний твердого тела в условиях, резонансов. Возбуждение такого рода колебаний может иметь место при реально выполнимых величинах амплитуд колебаний основания и расстроек частот от резонанса. Показано также, что зависимость условий возбуждений резонансных колебаний от таких параметров системы, как, например, расстройка частот коэффициенты демпфирования А, амплитуда колебаний и т. п. согласуется с теорией. Получили также качественное подтверждение результаты анализа критериев пространственной устойчивости о зависимости их от сочетания некоторых параметров системы для разных типов комбинационных резонансов . Например, в главе IV было показано, что в ряде случаев, если система при одном и том же сочетании параметров может быть неустойчивой для резонанса то для резонанса она должна быть устойчивой. Это положение также подтверждено экспериментально. Такое свойство, как показано в главе IV, имеет место здесь только в том случае, если не учитываются нелинейные члены относительно инерционных свойств системы. Экспериментально получено, что наиболее интенсивная перекачка энергии колебаний тела между его обобщенными координатами может быть в том случае, когда собственная частота непосредственно возбуждаемой координаты также является резонансной. В этом случае имеет место обратное влияние возбудившихся колебаний на непосредственно возбуждаемые колебания и амплитуда последних может уменьшаться. В нерезонансных случаях такого взаимовлияния между ними (обратного влияния возбудившихся колебаний) не наблюдается. Этот вопрос более подробно затрагивается в следующем параграфе.