ГЛАВА I. ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ И ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Кинематика и динамика твердого тела составляют фундаментальные разделы механики, которым посвящена огромная научная и учебная литература. В ней содержится богатый арсенал научных результатов. Для изложения вопросов теории колебаний твердого тела, которым посвящена эта книга, необходимо воспользоваться известными результатами, относящимися к кинематике и динамике твердого тела. Эти результаты мы воспроизводим в этой главе в минимальном объеме, с тем, чтобы облегчить изложение последующего материала и меньше затруднять читателя ссылками на оригинальную литературу, на известные монографии [8, 116, 128, 148, 170], которыми мы пользовались.

§ 1. Элементы кинематики твердого тела

Положение твердого тела в пространстве удобно определять с помощью двух систем прямоугольных координат—инерциальной или неподвижной системы и подвижной системы Оххуг, неизменно связанной с телом (рис. 1).

Рис. 1.

ТАБЛИЦА 1.1

Положение подвижной системы по отношению к неподвижной определяется координатами ее полюса и углами между осями и , которые характеризуются таблицей направляющих косинусов (таблица 1.1).

Координаты любой точки тела в неподвижной системе связаны с ее координатами в подвижной системе соотношениями

В этих соотношениях надо знать кроме координат еще девять величин косинусов, чтобы определить положение любой точки тела в пространстве. Однако между направляющими косинусами, в силу ортогональности осей и имеют место зависимости следующего вида:

поэтому из девяти направляющих косинусов независимыми являются только три. Такие три косинуса вместе с координатами точки определяют положение твердого тела в пространстве, эти шесть величин могут использоваться в качестве обобщенных координат твердого тела.

Рис. 2.

Взаимная ориентация осей неподвижной системы и подвижной системы определяется также углами Эйлера через тригонометрические функции которых выражаются все направляющие косинусы. Углы вместе с координатами точки также являются шестью обобщенными координатами, которые определяют положение твердого тела в пространстве.

Первоначальный, классический способ построения углов Эйлера похазан на рис. 2. Угол — между линией узлов и осью — называется углом собственного вращения (вокруг оси угол между осью и линией узлов — называется углом прецессии (вращение вокруг оси прецессии ), угол — между осями и называется углом нутации (вращение вокруг оси нутации — линии узлов ).

Выражения направляющих косинусов таблицы 1.1 через углы приведены в таблице 1.2.

ТАБЛИЦА 1.2

Чтобы получить эти выражения, достаточно выполнить преобразование координат одной и той же точки твердого тела при трех последовательных поворотах тела вокруг осей Положительным направлением поворота считается поворот, осуществляемый в правой системе осей против часовой стрелки (в левой системе — по часовой стрелке) для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси, вокруг которой производится поворот.

Угловая скорость со твердого тела равна векторной сумме угловых скоростей направленных вдоль осей т. е.

Ее проекции на оси подвижной системы Оххуг равны

Направляющие косинусы связаны с проекциями угловой скорости соотношениями

Описанный способ построения эйлеровых углов получил широкую известность, он до настоящего времени используется в задачах небесной механики и в других случаях. Однако этот способ не единственный, углы Эйлера можно строить иначе, с учетом конкретных условий задачи [116, 128].

Если пользоваться классическими углами Эйлера, построенными выше, то при малых отклонениях тела от положения равновесия (когда оси и совпадают) угол будет оставаться малым, но линия узлов может перемещаться

значительно, вследствие того, что плоскость будет пересекать плоскость под малым углом. Следовательно, углы могут изменяться в широких пределах, хотя их алгебраическая сумма будет оставаться величиной малой.

При исследовании колебаний самолета, корабля и любого твердого тела удобно, чтобы все три угла оставались при движении малыми. Этого можно достигнуть надлежащим выбором основных плоскостей, т. е. плоскостей, пересечением которых образуется линия узлов, или выбором основных осей — осей, перпендикулярных к основным плоскостям.

Рис. 3.

Заметим, что классические эйлеровы углы отсчитываются от линии узлов которая образована основными плоскостями которые при параллельности осей совпадают. Если за основные плоскости принять такие, которые при параллельности осей будут перпендикулярны, например, плоскость и плоскость 101 или то все три эйлеровых угла при малых отклонениях тела будут оставаться малыми. Так поступают при выборе эйлеровых углов для самолета и корабля. Для самолета построение углов Эйлера дано на рис. 3. За основные оси няты оси и . Ось направлена вдоль строительной оси самолета к кабине летчика, ось располагается в плоскости симметрии самолет, ось направлена перпендикулярно к этой плоскости вправо для летчика. Ось направлена по линии курса в плоскости горизонта, ось — по восходящей вертикали в точке О, ось — вправо для наблюдателя, смотрящего вдоль оси Углы называемые самолетными, имеют также индивидуальные названия: -угол тангажа, — угол рысканья, — угол крена. Они характеризуют повороты самолета вокруг осей и — единичный вектор, он определяет положительное направление линии узлов). Направляющие косинусы для самолетных углов даны в таблице 1.3.

ТАБЛИЦА 1.3

Проекции угловой скорости <о самолета на оси определяются выражениями

В теории корабля применяются углы Эйлера, мало отличающиеся от самолетных.

Рис. 4.

Построение корабельных углов Эйлера, предложенное А. Н. Крыловым [116], показано на рис. 4. Корабельные углы называются: -угол крена, — угол дифферента, ф — угол рысканья. Они характеризуют повороты корабля вокруг осей Направляющие косинусы для корабельных углов представлены в таблице 1.4.

ТБЛИЦА 1.4

Проекции угловой скорости корабля на оси выражаются следующим образом:

Для малых углов таблица косинусов 1.4 принимает удобную симметричную форму, представленную в таблице 1.5.

ТАБЛИЦА 1.5

От корабельных осей легко перейти к самолетным. Если у корабельных осей поменять местами обозначения осей а также осей тогда обе системы осей совпадут. При таком переходе надо поменять на обратные знаки углов корабельной системы, поскольку последняя из левой превратилась в правую систему. При этом направляющие косинусы корабельных осей (таблица 1.4) превращаются в направляющие косинусы самолетных осей (таблица 1.3) по следующему правилу:

а) в таблице 1.4 вместо положить полученные таким образом выражения обозначить (соответственно обозначениям

б) выражения переименовать по следующей схеме:

что соответствует ноеому обозначению осей. По аналогичному правилу выражения проекций угловой скорости (1.6) переходят в выражения (1.5): в (1.6) заменяем на и обозначаем эти выражения соответственно ; затем переименовываем последние выражения следующим образом: