ГЛАВА XII. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ УПРАВЛЯЕМЫХ ТЕЛ. НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЕРТОЛЕТА И АВИАЦИОННЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ

Дальнейшее развитие исследований пространственных колебаний получено в работах [31, 60, 70, 73, 130], в которых в основном решены прикладные задачи по динамике некоторых летательных аппаратов в нелинейной постановке в условиях резонансов. В настоящей главе излагаются результаты этих исследований.

В § 1 рассмотрена пространственная устойчивость движения управляемого твердого тела при его движении относительно центра масс. К рассмотрению такой динамической модели в ряде случаев приводит изучение автоколебаний летательных аппаратов типа управляемых ракет около их стационарных режимов полета.

В § 2 излагаются результаты исследований пространственной устойчивости движения управляемого спутника. Далее, на основе анализа простейшей динамической модели, выясняются некоторые возможности пространственной неустойчивости и нелинейных резонансных колебаний вертолета (§ 3). Последний параграф главы посвящен вопросу о рациональном выборе подвески авиационного двигателя самолета исходя из условий обеспечения его пространственной устойчивости:

§ 1. Пространственная устойчивость движения управляемого тела

1. Уравнения движения и постановка задачи.

Рассмотрим движение управляемого твердого тела относительно центра масс. Положение тела определяется с помощью следующих систем координат: - инерциальная система координат, — система координат, неизменно связанная с телом, причем оси являются главными центральными осями инерции тела. Взаимное положение осей систем координат и Охуг определяется углами Эйлера, выбранными в форме самолетных углов называемых углами крена, рыскания и тангажа. известно, движение тела около центра, масс описывается

динамическими уравнениями Эйлера:

где А, В, С — моменты инерции тела относительно осей

- проекции вектора угловой скорости на оси - проекции главного момента внешних сил, действующих на тело, обусловленных системой управления.

Рис. 106.

В дальнейшем в уравнениях движения будем удерживать нелинейные члены третьего порядка относительно обобщенных координат и их производных.

Определим выражения проекций главного момента внешних сил. Предполагается, что управление движением осуществляется путем изменения направления вектора тяги приложенного к концу летательного аппарата вдоль его оси, на углы в плоскостях и соответственно (рис. 106) и приложением момента, устраняющего крен. Считается также, что имеется автопилот, стабилизирующий движение по углу тангажа. Очевидно, что моменты, обусловленные действием силы имеют следующий вид:

где — координаты точки приложения силы к телу, — компоненты силы на оси полученные с учетом поворота на углы в плоскостях и соответственно:

Принимая во внимание малость углов , выражения с учетом членов до третьего порядка

относительно и , можно представить в следующем виде:

Принимается, что управление движением летательного аппарата осуществляется путем поворота двигателя, создающего тягу [155, 174]. Для удержания летательного аппарата в заданном направлении величина угла поворота двигателя выбирается пропорциональной величине угла отклонения летательного аппарата от этого направления.

Рис. 107.

При таком способе стабилизации аппарат совершает колебания около заданного стационарного режима движения, для устранения которых угол поворота двигателя задается в виде дифференциальной зависимости [155]

В реальных системах зависимость управляющих усилий от углов поворота двигателя (в рабочем диапазоне поворотов) носит слабо нелинейный характер. С достаточной точностью эту нелинейность можно представить в виде

Момент для выравнивания крена в ряде случаев можно принять в виде

Структурная схема системы стабилизации движения по углу тангажа, включающая автопилот с релейным усилителем, представлена на рис. 107. Тогда управляющий сигнал формируется

следующим образом [155]:

где - функция, учитывающая запаздывание релейного элемента. Подставляя вместо их значения через управляющие усилия, получим уравнения движения в следующем виде:

здесь - малый параметр,

Система допускает частное решение

где является решением уравнения

Для решения уравнения (1.4) применим метод гармонической линеаризации [161]. Тогда получим

или в операторной форме:

Подставив имеем два уравнения для определения амплитуды и частоты автоколебаний, из которых находим

Согласно частному решению (1.3) управляемое тело совершает плоское автоколебательное движение. В литературе чаще всего рассматривается именно этот случай автоколебательного движения, исследуется устойчивость плоского автоколебательного движения и зависимость от параметров (76, 77, 161]. Однако в рассматриваемой системе плоское движение управляемого тела может оказаться неустойчивым. Тогда управляемое тело будет совершать пространственные автоколебания. Здесь ставится целью определение условий возбуждения пространственных автоколебаний управляемого тела [31].

2. Устойчивость движения.

Для исследования устойчивости частного решения (1.3) составим уравнения возмущенного движения, которые имеют следующий вид:

где - возмущения

Последнее уравнение отделяется от первых двух уравнений системы (1.7). В работе [31] на основании этого уравнения показаны возможности существования устойчивых периодических движений тела в направлении угла тангажа.

С целью определения условий возникновения пространственного движения управляемого тела в условиях резонансов рассмотрим наиболее характерный случай резонанса рода, т. е. полагаем, что удовлетворяется соотношение

В дальнейшем для исследования устойчивости движения воспользуемся методом усреднения в форме, предложенной в главе IV - для исследования нелинейных колебаний твердого тела в условиях резонансов.

Вводя замену переменных в первых двух уравнениях системы (1.7)

и усредняя правые части получившихся уравнений по времени, имеем четыре уравнения относительно огибающих в первом приближении, характеризующие поперечные колебания тела:

Соответствующее характеристическое уравнение системы будет

Условия устойчивости системы получим в виде

Здесь

Для частного случая, когда неравенство имеет простой вид:

Так как амплитуда тангажных колебаний тела входит только в правую часть неравенства (1.9), то при определенной величине это неравенство может нарушаться.

Таким образом, при определенных соотношениях параметров в области указанного резонанса плоское автоколебательное движение управляемого твердого тела может оказаться неустойчивым, т. е. возникает пространственное автоколебательное движение управляемого тела.

Рассмотрим комбинационный резонанс типа

В уравнениях системы (1.7) вводим замену переменных

Уравнения относительно огибающих, характеризующие колебания тела по координатам будут

Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид

Условие устойчивости получено в виде

где

При B = C условие (1.10) упрощается:

При определенных соотношениях параметров системы условие (1.11) может не выполняться, т. е. возможно возбуждение почти периодических пространственных автоколебаний тела.