§ 5. Вынужденные нерезонансные колебания

Вынужденные колебания твердого тела в нерезонансных случаях, так же как свободные колебания, оказываются близкими к линейным колебаниям. Нелинейные связи между координатами тела, представленные в уравнениях (2.3.11), внесут в колебательное движение при нерезонансных колебаниях лишь малые гармонические составляющие с частотами, кратными частоте возмущающей силы. Существенно то обстоятельство, что в движении могут участвовать не только те координаты, относительно которых действуют внешние силы, но и другие координаты тела, которые могут вовлекаться в движение благодаря действию нелинейных связей между координатами. Все же следует отметить, что в нерезонансных случаях эффективность перераспределения энергии между координатами через посредствонелинейных членов резко снижается в сравнении со случаями резонансными, поэтому возбуждаемые таким путем колебания будут малыми.

Для конкретности рассмотрим вынужденные колебания твердого тела под действием одной внешней силы отнесенной к координате полагая, что между частотой «в внешней силы и частотами собственных колебаний тела нет каких-либо резонансных соотношений.

Начальные условия для уравнений (2.3.11) возьмем такими, чтобы исключить свободные колебания, рассмотренные выше, т. е. при

Частное решение системы уравнений (2.3.11), соответствующее вынужденным колебаниям тела под действием силы

построим, так же как и в предыдущем случае, с точностью до членов, содержащих малый параметр в первой степени.

Для координаты непосредственно возбуждаемой внешней силой решение имеет следующий вид:

В этом решении первое слагаемое является основным; оно отражает вынужденные колебания твердого тела, непосредственно вызванные внешней силой, второе слагаемое представляет так называемые сопровождающие колебания, которые затухают.с течением времени. Эти два слагаемые по существу совпадают с решением системы линеаризованных уравнений, которые получаются из (2.3.11), если в них положить Все последующие слагаемые в решении (3.5.1) являются величинами малыми (пропорциональными малому параметру

В их числе содержатся гармоники с двойными и тройными частотами а также гармоники с комбинированными частотами

Эти гармоники, кроме тех, которые имеют частоты со временем затухают, т. е. являются компонентами сопровождающих колебаний.

Для остальных пяти координат получаем решение следующего вида:

Здесь все слагаемые — величины малые. Гармоники с частотами с течением времени затухают. Остаются гармоники с удвоенными частотами внешней силы с основной гармоникой и малые постоянные составляющие. Следует заметить, что если коэффициенты потенциальных сил отличны от нуля, то в вынужденные колебания вовлекаются все координаты тела, несмотря на то, что в линейной части уравнений переменные полностью разделяются.

Малость этих колебаний в сравнении с колебаниями тела в направлении координаты дает основания считать, что в целом нерезонансные вынужденные колебания твердого тела близки к его линейным вынужденным колебаниям.