§ 9. Пространственная устойчивость колебаний твердого тела при почти периодических внешних силах

При воздействии на твердое тело внешних сил почти периодического характера его вынужденные колебания в условиях нелинейных резонансов также могут оказаться неустойчивыми. Природа неустойчивости, как и прежде, объясняется наличием нелинейных связей между координатами, однако условия проявления неустойчивости имеют специфику, что связано с почти периодичностью внешнего воздействия.

Анализ почти-периодических колебаний в нелинейной системе с шестью степенями свободы довольно громоздок. Чтобы упростить изложение, ограничимся здесь анализом колебаний твердого тела вокруг неподвижной точки О, совпадающей с центром масс тела. Уравнениями движения будут по-прежнему уравнения (2.3.11) модельной системы, в которых следует положить колебания тела будут описываться системой трех уравнений

В направлениях каждой обобщенной координаты действуют внешние силы, каждая из которых представлена в виде двух гармоник с несоизмеримыми частотами Амплитудные значения сил как и частоты, являются заданными величинами. Таким образом, внешнее воздействие на твердое тело является почти периодическим. В начале определим устойчивость вынужденных колебаний твердого тела под действием заданной системы почти периодических сил. Движение системы будем описывать следующим образом:

(см. скан)

В этих выражениях слагаемые, которые содержат Ни представляют вынужденные почти периодические колебания твердого тела, устойчивость которых подлежит изучению. Кроме вынужденных колебаний в выражениях (9.2) содержатся слагаемые с частотами амплитуды которых подлежат определению из уравнений движения (9.1). Характер изменения этих функций будет по существу отражать устойчивость или неустойчивость режима вынужденных почти периодических колебаний твердого тела. (Здесь, как и прежде, величины определены соотношениями где расстройки частот.) Чтобы определить функции преобразуем уравнения (9.1) к новым переменным, используя (9.2) в качестве формул замены переменных. Таким путем получим уравнения

где

В нерезонансном случае, т. е. когда между частотами не имеют места соотношения вида

из предыдущих уравнений получаем путем усреднения следующие уравнения, которые определяют переменные как огибающие колебательного движения:

где

(см. скан)

Уравнения (9.5) имеют интегралы вида

следовательно, состояние является устойчивым. Таким образом, в нерезонансном случае имеют место устойчивые вынужденные почти периодические колебания, при которых каждая из координат движется независимо от остальных.

Анализ резонансных соотношений (9.4) для случая, когда на систему действуют почти периодические силы, представленные в уравнениях (9.1), показывает, что здесь возможны (кроме ранее рассмотренных) резонансные соотношения следующего вида:

Рассмотрим пространственную устойчивость почти периодических колебаний твердого тела в условиях этих резонансов.

Резонанс типа . Пространственная устойчивость вынужденных колебаний твердого тела в условиях этого резонанса рассматривалась в § 4, где предполагалось, что на тело действует периодическая сила, отнесенная к одной из координат. Здесь тело находится под действием трех почти периодических сил, и эта специфика нагрузки является предметом анализа.

В начале для определенности примем, что резонансной координатой является 0, условие резонанса определяется соотношением частот

Из уравнений (9.3) для этого случая получаем уравнения для огибающих

где

Устойчивость состояния определяется неравенствами

Из второго неравенства следует, что в условие устойчивости колебаний кроме параметров демпфирования и расстройки входят амплитуды Ни , и частоты , всех почти периодических сил. Надлежащим выбором этих параметров внешних почти периодических сил можно влиять на устойчивость колебаний в желаемом направлении.

Положим теперь, что резонансной координатой по-прежнему является 0, но в резонансном соотношении частот участвуют

две частоты внешнего воздействия т. е.

Используя это соотношение в уравнениях (9.3), получим для определения огибающих уравнения

где

Для суждения об устойчивости состояния получаем неравенства

Из выражений для видно, что состояние можно сделать устойчивым либо неустойчивым путем надлежащего подбора величин

Аналогичным образом неустойчивость колебаний при почти периодическом внешнем воздействии проявляется в условиях резонансных соотношений следующего вида:

Резонанс типа Этот случай пространственной устойчивости рассмотрим в условиях резонансного соотношения частот принимая координату 0 в качестве резонансной. Уравнения для определения получим в следующем виде:

где

Как видим из (9.14), состояние равновесия относительно координаты 0 является неустойчивым.

Уравнения (9.14) допускают устойчивое периодическое решение вида

которому согласно (9.2) соответствуют устойчивые пространственные колебания тела:

где

Очевидно, что определенным подбором параметров возмущающих сил можно управлять амплитудой А возбудившихся колебаний в направлении координаты 0. Такой же режим движения имеет твердое тело в условиях резонансного соотношения частот Так, в случае движение описывается уравнениями (9.14) и решением (9.16), в котором вместо прежнего значения

следует считать

В условиях резонансного соотношения частот типа колебания твердого тела тоже имеют форму (9.16). В случае, например, когда следует считать

кроме того,

Резонанс типа Пространственную устойчивость колебаний рассмотрим в условиях соотношения частот Для определения получим уравнения

где

величины те же, что в (9.15). Устойчивость состояния определяется неравенствами

Интересно отметить, что в ряде случаев неустойчивость колебаний, например, в направлении координаты 0 проявляется, если только частота действующей в этом же направлении почти периодической внешней силы входит в резонансное соотношение частот. Это видно из выражения

которое получено для соотношения частот

Резонанс типа Пространственную устойчивость колебаний рассмотрим при соотношении частот

Резонансными координатами являются

Огибающие для этих координат определяются из уравнений

где

Устойчивость состояния определяется

неравенствами

Нетрудно заметить сходство рассматриваемого случая пространственной устойчивости колебаний твердого тела с ранее рассмотренным случаем устойчивости в условиях комбинационного резонанса типа

В целом рассмотренные в этом разделе случаи устойчивости при почти периодическом внешнем возбуждении позволяют судить о том, что этот тип внешнего возбуждения порождает больше неустойчивых состояний, чем периодическое возбуждение. В то же время увеличиваются возможности влиять на устойчивость путем надлежащего подбора частот и амплитуд внешних сил.