§ 3. Пространственная устойчивость колебаний твердого тела в нерезонансном случае

Анализ конкретных случаев пространственной устойчивости твердого тела начнем с наиболее простого случая движения: твердое тело находится под действием внешней силы вследствие чего возникают вынужденные колебания тела в направлении координаты остальные пять координат тела находятся в покое или совершают колебательные движения, малые в сравнении с движением координаты Частота внешней силы со такова, что не удовлетворяет (ни точно, ни приближенно) ни одному из резонансных соотношений (2.27), (2.28) или (2.3), т. е. колебания являются нерезонансными. Требуется определить пространственную устойчивость режима вынужденных колебаний.

Пространственное движение твердого тела будем искать в следующей форме:

где (здесь ).

Величины принимаем в качестве новых переменных вместо переменных и их производных по времени Используем выражения (3.1) в качестве формул замены переменных в уравнениях (2.3.11). Уравнения (3.1) в новых переменных будут следующими:

Приближенное решение этих уравнений строится в форме (2.9), т. е.

Главные части этих решений — функции определяются из вспомогательных уравнений, которые получаем путем усреднения правых частей уравнений (3.2) по явно содержащемуся времени . В рассматриваемом случае частоты не находятся в резонансных отношениях, поэтому вспомогательные усредненные уравнения для определения принимают следующий вид:

(кликните для просмотра скана)

Очевидно, система уравнений (3.3) допускает частное решение соответствующее решению уравнений (2.3.11) вида

Устойчивость решения (3.4) можно определить из системы линейных уравнений, которые получим из уравнений (3.3), опустив в них нелинейные члены

(см. скан)

Эти уравнения легко интегрируются, из них непосредственно следует

где

Согласно выражениям (3.1) колебания тела имеют вид

Поскольку все величины положительны (они представляют силы сопротивления движению), полученные решения (3.7) стремятся с течением времени к решениям (3.4), таким образом, решение (3.4) является устойчивым асимптотически. Колебания сохраняют устойчивую форму: имеют место лишь вынужденные колебания в направлении координаты колебания в направлениях других пяти координат не возникают.