§ 5. Почти периодические колебания вращающихся тел

Допустим, что имеют место резонансные соотношения вида

Проведем исследование, предполагая, что указанному резонансному соотношению удовлетворяют частоты т. е.

Приближенные решения системы (3.3) будем искать также в форме (3.6) и, усредняя по времени правые части уравнений (3.3) с учетом резонансного соотношения (5.2), получим следующие уравнения первого приближения:

Здесь

(см. скан)

Система уравнений (5.3) допускает частное решение

Состояния устойчивы, так как (см. случай резонанса ).

Для определения условий устойчивости состояний преобразуем с четвертого по седьмое уравнения системы (5.3) с помощью следующей замены переменных:

Тогда преобразованные уравнения примут вид

Очевидно, что устойчивость частных решений соответствующих состояниям определяется характером корней а фундаментального уравнения системы (5.7):

Пользуясь критериями Рауса — Гурвица, получим следующие неравенства, характеризующие устойчивость решения (5.5) отно сительно переменных

Если проанализировать неравенства (5.9) с учетом выражений (5.4), то, как и в предыдущем резонансном случае, можно убедиться в том, что первое из неравенств (5.9) всегда выполняется, а остальные при определенных значениях параметров системы могут и не выполняться.

С целью установления возможностей невыполнения остальных условий устойчивости рассмотрим некоторые частные примеры. Пусть т. е. резонансные условия выполняются точно и нелинейности в уравнениях движения носят лишь инерционный характер.

Принимая во внимание принятые ограничения, неравенства (5.9) приведем к следующему виду:

Как указано выше, первое из этих неравенств выполняется при а выполнимость остальных неравенств зависит от выполнения только второго неравенства, т. е.

Для последующего анализа последнее неравенство представим через параметры системы в виде:

где

Если же но то неравенство (5.11) упрощается и примет вид

Первые слагаемые в неравенствах (5.11), (5.12) всегда положительны (в этом легко убедиться, принимая во внимание относительное расположение значений величин , а второе слагаемое в выражении (5.11) при определенных соотношениях параметров системы , с может быть либо положительным, либо отрицательным. Второе слагаемое в неравенстве (5.12) всегда отрицательно. Таким образом, неравенства (5.11), (5.12) при некоторых соотношениях параметров системы могут не выполняться, т. е. решение (5.5) может оказаться неустойчивым.

По неравенству (5.12) видно, что вращающийся ротор оказывает дестабилизирующее влияние на колебания системы: увеличение момента инерции ротора угловой скорости Р способствует нарушению условий устойчивости. Можно также показать, что в более общем случае вращающиеся части могут оказывать как стабилизирующее, так и дестабилизирующее влияние на колебания системы.

Исследование других случаев резонансных соотношений вида показывает, что для них также имеет место возбуждение пространственных колебаний тела. Условия устойчивости определяются неравенствами (5.9), но только с другими значениями коэффициентов

При невыполнении условий устойчивости (5.9) возбуждаются, вообще говоря, колебания с несоизмеримыми частотами , т. е. пространственные почти периодические колебания твердого тела.

Предложенный здесь способ исследования пространственной устойчивости системы с вращающимися частями и результаты ее анализа могут быть использованы для изучения резонансных явлений в различных гироскопических системах.