§ 5. Пространственная устойчивость колебаний твердого тела в условиях резонансов при кратных собственных частотах

Случаи неустойчивости колебаний в условиях нелинейных резонансов, которые были рассмотрены в предыдущем разделе становятся более сложными для анализа, когда они реализуются при наличии кратных отношений между частотами собственных колебаний твердого тела. Среди кратных отношений чаще других встречаются случаи равенства частот собственных колебаний характерные для систем с симметричными относительно центра масс характеристиками инерционных и упругих свойств. Ранее, в § 2, был изложен общий методический прием анализа нелинейных колебаний в случае, когда одновременно две частоты собственных колебаний находятся в резонансном отношении с частотой внешней возмущающей силы Рассмотрим теперь конкретный случай пространственной устойчивости колебаний твердого тела в условиях кратного нелинейного резонанса, пользуясь упомянутой выше методикой.

Пусть имеет место соотношение частот для резонанса типа но в нем участвуют две частоты собственных колебаний Иначе говоря, имеет место частный случай соотношения частот (2.18).

Для определенности выберем в качестве резонансных координат 0 и внешняя сила пусть действует в направлении координаты Резонансные соотношения запишем в виде

Уравнения огибающих примут вид

— для резонансных координат

где

— для нерезонансных координат

Обратим внимание на природу коэффициентов нелинейных потенциальных сил в этих уравнениях. Например, для твердого тела, установленного на упругих опорах согласно рис. 10, величины являются линейными комбинациями коэффициентов жесткостей упругих элементов, они равны

(см. скан)

Для устойчивости движения важно, что у этих коэффициентов может изменяться и величина и знак в зависимости от выбора параметров

Частное решение системы уравнений (5.2) и (5.3) условно устойчиво по отношению к переменным , поскольку Устойчивость этого решения по отношению к переменным определяется характером корней фундаментального уравнения, соответствующего системе уравнений (5.2):

Здесь

Раскрывая определитель (5.5) относительно получим уравнение

где коэффициенты зависят от параметров исследуемой системы. Необходимые и достаточные условия устойчивости, которые заключаются в том, чтобы корни имели отрицательные вещественные части, сводятся к известным неравенствам:

Если условия (5.6) не выполняются, то возбуждаются резонансные колебания тела в направлении двух координат 0 и кроме того, продолжаются колебания в направлении координаты таким образом, пространственное движение тела оказывается трехмерным. Параметрический анализ условий устойчивости (5.6) в общем виде является громоздким, поэтому рассмотрим некоторые характерные частные случаи. Предположим, что Тогда условия (5.6) удается представить в виде следующих неравенств:

Здесь

При определенных значениях параметров системы некоторые из этих неравенств могут не выполняться.

Для дальнейшего анализа условий устойчивости (5.7) представим их в другом виде, чтобы более наглядно показать роль отдельных параметров изучаемой системы. При тех же предположениях уравнение (5.5) удается привести к следующему квадратному уравнению относительно

Условия отрицательности вещественных частей корней будут определяться либо критериями Рауса—Гурвица для действительного полинома, либо критериями Эрмита—Гурвица для комплексного полинома в зависимости от знака подкоренного выражения

Если . применяя критерии Рауса—Гурвица к уравнению (5.8), получим следующие условия устойчивости:

Если же то уравнение (5.8) можно представить в комплексной форме:

Здесь

Пользуясь критериями Эрмита — Гурвица, имеем условия устойчивости в виде неравенств

или

Неравенства (5.9), (5 11) позволяют легко выполнить параметрическое исследование условий устойчивости. Из (5.9), (5.11) следует, что коэффициент трения и расстройка по-прежнему являются факторами, способствующими устойчивости. Величины зависящие от способствуют неустойчивости. Неустойчивости способствует также рост абсолютной величины разности что связано с увеличением степени несимметричности динамической модели твердого тела относительно его упругих, инерционных и геометрических характеристик. Важную роль играет произведение Если то возникновение неустойчивости облегчается и наоборот.

При условия устойчивости (5.9) упрощаются. Непосредственно из уравнений (5.5) следует

Первые два из полученных неравенств совпадают с неравенствами (4.8), которые выражают условия устойчивости для случая, когда резонансным соотношениям удовлетворяет только одна частота Аналогично, последние два неравенства получаются при условии, что резонансным соотношениям удовлетворяет только частота Таким образом, при условия неустойчивости в направлении двух координат 0 и независимы между собой, хотя резонансными являются одновременно две частоты и В противном случае эти условия связаны и такая связанность усиливает неустойчивость при Следовательно, наличие произведения в условиях устойчивости выражает тот физический факт, что резонансные колебания в направлении координат 0 и связаны между собой. Причем эта связанность либо способствует, либо противодействует возбуждению резонансных колебаний. Предположим, что Тогда условия устойчивости, полученные непосредственно из системы (5.2) (составлением соответствующего ей фундаментального уравнения и использованием критериев Эрмита—Гурвица), можно представить в следующем

Отсюда следует, что при малых коэффициентах трения и сравнительно большой степени неравномерности их распределения по координатам (например, при квадрат суммы может стать достаточно большой величиной, т. е. имеет место расширение области неустойчивости. Следовательно, рассматриваемая система при вышеуказанных условиях мало чувствительна к расстройке частот, т. е. трудно стабилизировать ее увеличением расстроек.

Из неравенств также очевидно, что влияние расстроек частот на условия устойчивости можно устранить выбором

На основании изложенного выше можно заключить, что области неустойчивости для кратных резонансов могут быть более широкими, чем в случае, когда в резонансном соотношении находится одна собственная частота.

Критерии устойчивости (5.13) просты и удобны для расчетов устойчивости любой конкретной системы. В них явно отражена роль параметров сил сопротивления, роль величин расстроек в то же время выражена неявно, через величины Роль параметров инерции твердого тела (т. е. А, В, С) и параметров жесткости упругих элементов. Выяснить в явном виде роль последних параметров согласно неравенствам (5.13) затруднительно, однако наглядное представление о роли этих параметров можно получить из анализа достаточных условий устойчивости

которые, как это видно непосредственно, являются более узкими и стеснительными в сравнении с необходимыми и достаточными условиями (5.13).

Целесообразность использования достаточных условий (5.14) проиллюстрируем на следующем примере. Определим область пространственной устойчивости колебаний твердого тела в условиях резонанса (5.1). Параметры инерции твердого тела — любые, коэффициенты жесткости упругих элементов выберем следующим образом:

причем Тогда из (5.4) получим

Следовательно

Область устойчивости в пространстве параметров определяется неравенствами

или

Выбор параметров в согласии с этим неравенством обеспечивает устранение резонансных колебаний тела в направлении координат 0 и независимо от коэффициентов трения и расстроек частот.

Рис. 22.

Как теоретический, так и практический интерес представляет определение условий устойчивости в том случае, когда нелинейные члены в уравнениях движения обусловлены только инерционными свойствами тела, т. е. если Такие случаи могут иметь место, например, если твердое тело находится в поле линейных потенциальных сил. Тогда условия устойчивости определяются неравенствами

На основании этого неравенства построена область устойчивости (рис. 22), расположенная выше линий По физическому смыслу моментов инерции имеем:

Поэтому есть смысл рассматривать только ту часть области в которой выполняются эти неравенства. На рис. 22 эта часть области -область Е показана пунктирными линиями. Как видим, область Е целиком помещается внутри области это значит, что неустойчивость в направлении координат 0 и не может возникнуть в системе, у которой потенциальные силы линейны.