§ 1. Уравнения движения. Постановка задачи

Рассматриваются пространственные колебания твердого тела укрепленного посредством системы упругих опор (рис. 9) с жесткостями к основанию Т. Последнее может быть либо неподвижным, либо вращающимся с постоянной скоростью вокруг неподвижной оси (рис. 51). Основание Т может также

являться колеблющимся вокруг оси по закону

В теле жестко укреплен ротор вращающийся с постоянной скоростью Р вокруг одной из главных центральных осей инерции тела центр массы ротора совпадает с центром массы О, тела Движение тела рассматривается по отношению к подвижной системе координат жестко связанной с основанием Т, начало которой О совпадает в положении равновесия с точкой

Кроме названной подвижной системы координат используется система координат Олхуг, неизменно связанная с телом и система координат жестко связанная с неподвижным основанием; оси являются главными центральными осями инерции тела Взаимное расположение осей определяется углами Эйлера выбранными по способу А. Н. Крылова так же, как в предыдущих случаях. Углы являются координатами тела тремя другими координатами—линейные перемещения центра масс О, тела соответственно по всем для составления уравнений движения рассматриваемой систгмы воспользуемся выражениями (5.1.2), (5.1.4) — (5.1.8), пригодными для описания колебательного движения тела в самом общем случае движения его основания. При этом проекции переносной угловой скорости тела будут равны

(в случае вибрирующего основания). Кроме того, дополнительно учитывается кинетический момент, происходящий от вращения ротора с угловой скоростью Р вокруг оси 0,2, т. е. проекции кинетического момента системы твердое тело и ротор согласно формулам (5.1.7) будут

где А, В, С — суммарные моменты инерции твердого тела и ротора относительно осей -момент инерции ротора относительно оси Величины определяются выражениями (5.1.8) с учетом соотношений (1.1). Силы и моменты реакций упругих опор учитываются так же, как в главе V. Силы сопротивления относительному и абсолютному движениям тела вводятся простейшими предложениями согласно формулам (5.1.9), (5.1.10). Заметим, что в уравнения движения должны войти проекции сил и моментов на подвижные оси в выражениях которых в уравнениях будем удерживать лишь линейные члены.

Уравнения движения, составленные с учетом сказанного выше, в которых удержаны члены второго порядка относительно

координат и их производных, имеют следующий вид:

(см. скан)

Здесь А, В, С — главные центральные моменты инерции твердого тела вместе с ротором относительно осей —масса тела и ротора -момент инерции ротора относительно оси вращения — проекции главного вектора и главного момента внешних возмущающих сил на оси

Выражения для функций приведены в приложении 1. Уравнения (1.3) приведены к квазинормальным координатам (при соответствующим выбором параметров упругой системы. Кроме того, при выводе этих уравнений для простоты принято и в последнем уравнении системы (1.3) отброшен член выражающий сопротивление вращению тела вокруг оси (считается, что такое сопротивление движению тела преодолевается вращающим моментом двигателя, приложенным к основанию Т).

В дальнейшем будем считать, что внешняя периодическая сила действует только лишь в направлении координаты т. е.

Колебания тела предполагаются такими, что нелинейные члены, содержащие произведения координат и их производных, считаются малыми в сравнении с основными — линейными членами.

К числу малых членов отнесем также члены, учитывающие действие сил внешнего и внутреннего трений. Малость названных членов уравнений так же, как в предыдущих случаях, отразим введением малого положительного параметра следующим образом:

где обозначено

Кроме того, обозначим

(см. скан)

Уравнения (1.3), записанные с использованием введенных выше обозначений, принимают вид

Если же основание Т является также колеблющимся вокруг оси 0? по закону

то уравнения движения имеют вид

Здесь

В этом случае внешнее воздействие на тело выражается лишь в том, что основание Т совершает колебательное движение вокруг оси

Нетрудно убедиться в том, что при системы уравнений (1.7), (1.8) допускают частные решения вида

Это значит, что под действием внешней периодической силы будут иметь место колебания твердого тела только в направлении координаты по отношению к которой непосредственно приложена внешняя возмущающая сила.

Нашей задачей является определение условий возбуждения пространственных колебаний твердого тела исходя из нелинейных уравнений движения системы. При этом основное внимание будет уделяться установлению особенностей влияния на пространственную устойчивость движения системы вращений и колебаний отдельных ее частей. Как будет показано ниже, некоторый интерес представляет также исследование устойчивости и в линейной постановке.