ГЛАВА X. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СПУТНИКОВ. РЕЗОНАНСНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТУПАТЕЛЬНЫХ И ВРАЩАТЕЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЙ СПУТНИКА

Результаты исследований резонансных колебаний твердых тел в потенциальном поле сил, представленные в предыдущих главах, являются исходной предпосылкой для постановки задач по изучению пространственных колебаний спутников. Поэтому вполне естественно предположить, что при нелинейных колебаниях твердого тела в ньютоновском центральном поле сил, являющегося в ряде случаев динамической моделью спутника, также возможно существование явлений пространственной неустойчивости и других резонансных явлений, которые были обнаружены при изучении колебаний твердых тел в потенциальном поле сил.

В этой главе в обобщенной форме излагаются методы и результаты исследований нелинейных пространственных колебаний спутников, выполненных в работах [32, 45, 59—61].

В § 1 дается вывод нелинейных уравнений движения спутника относительно центра масс, которые используются в последующих параграфах этой главы. Здесь проанализированы также малые пространственные колебания спутника относительно центра масс.

Второй параграф посвящен исследованию нелинейных резонансных пространственных колебаний спутника относительно центра масс, следуя работам [32, 59].

Далее изучены возможности резонансного взаимодействия между колебательными движениями центра масс спутника и его угловыми колебаниями относительно центра масс [61] (§ 2).

В последнем параграфе главы обсуждаются вопросы о возможности моделирования в лабораторных условиях нелинейных колебаний спутника относительно центра масс [45].

§ 1. Уравнения движения при нелинейных пространственных колебаниях спутника относительно центра масс. Малые пространственные колебания спутника

Рассмотрим движение спутника по орбите, близкой к круговой, вокруг Земли, несферичностью которой пренебрегаем. Линейные размеры тела малы по сравнению с расстоянием до притягивающего центра; это позволяет рассматривать отдельно орбитальное движение и движение относительно центра масс, который предполагается движущимся по круговой или эллиптической орбите.

Рис. 82.

Рис. 83.

Положение спутника на орбите определим с помощью следующих систем координат: экваториальная система координат с началом в центре Земли О, причем оси лежат в плоскости земного экватора, а ось направлена по оси вращения Земли к ее северному полюсу (рис. 82); орбитальная система координат движущаяся вместе с центром инерции спутника и образованная радиусом-вектором перпендикуляром к радиусу-вектору в плоскости орбиты, направленным в сторону движения спутника, и бинормалью к орбите Триэдр связан с движущимся телом (рис. 83).

Оси являются главными центральными осями инерции спутника, причем ось направлена по полету в направлении оси Ориентацию осей определим в орбитальных осях тремя самолетными углами: - тангажа, — рыскания, — крена, а направляющие косинусы между осями систем координат и - следующей таблицей:

Уравнения движения спутника относительно центра масс в ньютоновском центральном поле сил при известных упрощающих предположениях имеют вид [14]

где — проекции мгновенной угловой скорости спутника на оси — моменты инерции тела относительно этих осей, -моменты относительно соответствующих осей, обусловленные силовой функцией гравитационного поля, определенной приближенно следующим выражением:

где - относительные направляющие косинусы — - гравитационная постоянная, М — масса спутника.

Гравитационные моменты определяются соотношениями

Проекции угловых скоростей выражаются в виде

Здесь величины обусловлены движением спутника по орбите и определяются следующими соотношениями:

а величины в свою очередь будут

где - долгота восходящего узла орбиты спутника, - наклонение орбиты, - аргумент широты, - долгота перигея, - истинная аномалия спутника.

В настоящем исследовании считаем, что эволюции орбиты не происходит, тогда

Проекции угловых скоростей примут вид

Для эллиптической орбиты радиус-вектор орбиты, истинная аномалия определяются выражениями

где фокальный параметр орбты, эксцентриситет орбиты.

В дальнейшем считаем, что углы не малые, но такие, что в разложениях тригонометрических функций будем удерживать величины до второго порядка относительно координат и их производных, т. е. принимаем

Предполагаем, что на спутнике имеется система демпфирования колебаний относительно центра инерции и создаваемые ею моменты пропорциональны скорости относительного движения, т. е. где — положительные постоянные, определяемые из опыта. В уравнения движения должны войти их проекции на оси

Тогда, учитывая вышесказанное и принимая во внимание малость нелинейных членов, а также членов, обусловленных силами сопротивления и эксцентриситетом орбиты, по сравнению с основными линейными членами, введем малый параметр и систему (1.2) представим в виде

где

Малые пространственные колебания спутника относительно центра масс могут быть проанализированы на основе линейных уравнений, которые получаются из системы (1.11), если положить малый параметр равным нулю,

где

Из уравнений (1.13) очевидно, что колебания спутника в направлении угла тангажа независимы от его колебаний в направлении углов рыскания и крена. Таким образом, под действием внешней периодической силы, обусловленной эксцентриситетом орбиты, будут иметь место вынужденные колебания спутника лишь по тангажу; по крену и рысканию спутник совершает свободные колебания.

Рассмотрим линейные колебания спутника около положения относительного равновесия на круговой орбите. С этой целью будем исследовать устойчивость нулевых решений системы уравнений (1.13), прийимая эксцентриситет орбиты равным нулю. Тогда из третьего уравнения системы (1.13) очевидно, что для устойчивости решения необходимо выполнение неравенства где

Для того чтобы определить необходимые условия устойчивости решения ищем решение первых двух уравнений системы (1.13) в виде Необходимые и достаточные условия вещественнрсти величины являющиеся условиями устойчивости решения можно представить в виде неравенств

Неравенства (1.14), (1.15), полученные на основе анализа уравнений в линейном приближении, выражают лишь необходимые условия устойчивости равновесия спутника на круговой орбите. Если не выполнено хотя бы одно из этих условий, то равновесие

спутника неустойчиво, но выполнение этих условий еще не гарантирует устойчивость относительного равновесия спутника. Подробное исследование устойчивости движения спутника на круговой орбите выполнено в работе [14], в которой на основе точных уравнений (1.2)-(1.4) построением функции Ляпунова получены достаточные условия устойчивости относительного равновесия спутника в виде неравенств

Представим области устойчивости и неустойчивости, определяемые неравенствами (1.14)-(1.16), в пространстве параметров (рис. 84) [32, 185].

Рис. 84.

Очевидно, что первое из неравенств (1.15) выполняется всегда. Исходя из физического смысла моментов инерции А, В, С, следуют неравенства

Ниже рассматривается лишь та часть плоскости в которой выполняются условия (1.17), причем, она разбивается на следующие подобласти. Подобласть (2), в которой выполняется является областью неустойчивости по тангажу. Анализ последних двух неравенств (1.15) легко приводит к получению остальных областей устойчивости и неустойчивости. Области и (4) являются областями устойчивости по тангажу, крену, рысканию (области и при этом верхняя граница области (4)

ограничена кривой, уравнение которой получается из рассмотрения второго из неравенств (1.15) и имеет вид

Подобласть — область неустойчивости по крену-рысканию.

В подобласти выполнены также достаточные условия устойчивости (1.16), поэтому в этой области движение спутника будет действительно устойчивым по Ляпунову.

Для того чтобы представить характер пространственного движения спутника в областях устойчивости (1) и (4), обратимся к рассмотрению нелинейных уравнений движения (1.11).