§ 3. Вынужденные колебания твердого тела

Вынужденные колебания твердого тела в линеаризованной задаче описываются уравнением

которое было получено ранее (гл. - II, § 2).

Рассмотрим сначала вынужденные колебания без учета сил сопротивления движению, т. е. колебания, описываемые уравнением

или системой уравнений в скалярной форме

Вынужденные колебания системы без учета сил сопротивления движению характеризуются достаточно полно частным решением неоднородных уравнений (3.3).

Основной интерес представляют решения, построенные для случая, когда силы изменяются по гармоническому закону

Здесь амплитуда силы частота и начальная фаза силы являются постоянными заданными величинами. Любой другой периодический закон изменения может быть представлен в виде ряда Фурье, содержащего гармоники с частотами, кратными частоте , а соответствующее решение уравнений будет тогда получено путем наложения (суперпозиции) решений, отвечающих каждой гармонике. Последнее допустимо благодаря линейности уравнений движения.

Вынужденные колебания тела, которым соответствует частное решение системы (3.3) с силами (3.4), будут гармоническими с частотой ; разыскиваются они в форме

Подстановка этого выражения в уравнения (3.3) с учетом сил, определенных выражением (3.4), приводит к системе алгебраических уравнений относительно искомых амплитуд вынужденных колебаний

Считая, что определитель этой системы

не равен нулю, величины амплитуд вынужденных колебаний определятся из (3.6) следующим образом:

Следовательно, вынужденные колебания твердого тела в соответствии с (3.5) характеризуются выражением

В последних двух выражениях есть минор столбца и строки определителя (3.7).

Определитель (3.7) совпадает с определителем (1.5), корни которого являются квадратами частот собственных колебаний твердого тела. Поэтому в случаях, когда частота о внешней силы приближается к одной из частот собственных колебаний твердого тела, величина стремится к нулю, следовательно, амплитуды вынужденных колебаний неограниченно возрастают. В таких случаях говорят, что наступает явление резонанса вынужденных колебаний.

Строго говоря, случаи точного совпадения частоты о с одной из частот не описываются решениями вида (3.5), (3.9). В таких случаях форма решения уравнений должна быть иной — в ней время должно входить в виде сомножителя [119]. Однако, поскольку надобность в такой форме решений возникает очень редко, почти всегда пользуются решениями вида (3.5), (3.9). По-видимому, по той же причине термин «резонанс» относят не только к случаям точного выполнения равенств

но и к случаям, когда подобные равенства выполняются приближенно, например,

т. е. считается, что явление резонанса наблюдается в малой области частот :

окружающей частоту собственных колебаний . В последних выражениях — малый безразмерный положительный параметр,

- малая в сравнении с величина, имеющая размерность частоты, часто называемая расстройкой частот.

Резонансы, которые возникают при условиях (3.10) или (3.11), будем называть основными резонансами линейных колебаний. Таких резонансов у твердого тела шесть.

Пусть теперь вместо гармонической силы (3.4) на систему действует произвольная периодическая сила с тем же периодом Воспользовавшись разложением периодической функции в ряд Фурье, представим ее в виде суммы гармонических составляющих с частотами со, т. е.

Для любой гармоники из этой суммы

получим таким же путем решение

которое отличается от решения (3.9) тем, что вместо частоты здесь стоит кратная частота Рассуждая как и прежде, приходим к заключению, что при действии на систему произвольной периодической силы резонансные явления будут возникать каждый раз, когда частота внешней силы будет приближаться к значениям, которые удовлетворяют (точно или приближенно) резонансным соотношениям частот

В отличие от резонансов основных (3.10) эти резонансы будем называть резонансами линейных колебаний на старших гармониках.

Решение задачи о вынужденных колебаниях твердого тела на основе линейных уравнений выглядит значительно проще, если воспользоваться нормальными координатами. Введем вместо исходных координат нормальные координаты с помощью соотношений (1.12). Тогда уравнения (3.3) примут следующую форму:

в которой искомые переменные оказываются независимыми друг от друга. Обобщенные силы определятся в виде сумм,

содержащих в ходе преобразования уравнений (3.3) по формулам (1.12). Эти суммы будут следующими:

Для уравнений в форме (3.15) можно записать общее решение весьма компактного вида

Первые два слагаемые в этом решении описывают свободные колебания твердого тела, которые возникают благодаря реализации начальных условий: при Последнее слагаемое характеризует вынужденные колебания твердого тела. Здесь обобщенная возмущающая сила может быть не только произвольной периодической функцией, но и любой другой функцией времени